环多项式Φ_pq(x)的简化表示与F_2上因子分析

本文主要探讨了环多项式Φpq(x)，一种在数论中具有重要意义的数学对象。环多项式通常与循环群、有限域中的特征性质紧密相关，特别是在计算和理论研究中扮演着核心角色。文章关注的是Φpq(x)在整数环Z[x]中的表达形式，以及其在有限域F2[x]中的因子结构和汉明重量的上下界。 首先，作者回顾了Dedekind的逆元公式，这个公式对于理解 Cyclotomic polynomial 的定义至关重要。Cyclotomic polynomial Φm(x)的定义是基于模m的逆元，它在模m下具有阶为m的循环群结构。该函数在整数环Z[x]中是一个不可约多项式，其度数等于欧拉函数φ(m)，表示小于或等于m且与m互质的正整数的数量。 文章的核心部分着重于当m分解为不同素数的乘积时的情况，例如m=Pq，其中P和q是不同的素数。在这个特定情况下，计算Φm(x)可以简化为分解m为质因数后处理每个质因数的贡献。对于Φpq(x)，文章给出了一些具体例子，如Φ15(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x 和另一个具体表达式，这些例子展示了环多项式的简洁形式。 接着，作者提供了Φpq(x)在F2[x]上的因子形式，即它在二进制有限域中的表现。这涉及到对环多项式的系数进行分析，以及确定这些系数如何影响其在该域内的分解。同时，通过计算因子的汉明重量，即其非零系数的个数，文章给出了关于因子结构的上界和下界的界限，这对于理解和评估环多项式的性质以及其在编码理论和其他应用中的性能具有实际价值。 总结来说，这篇论文不仅深化了我们对环多项式Φpq(x)的理解，还提供了一种方法来处理此类多项式在不同数学环境下的特性，这对于数论、密码学、编码理论等领域都是关键的贡献。通过具体的实例和精确的上下界，作者为研究者和实践者展示了如何有效地运用环多项式及其相关性质进行计算和理论研究。