变分推断详解:思路、数学框架与应用实例
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更新于2024-08-05
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变分推断(VI)是一种在概率机器学习中常用的近似推断方法,它在复杂的概率模型中解决难以直接求解后验概率的问题。VI的主要思路源于贝叶斯公式,该公式由观测数据、参数的先验分布和似然函数构成,但求后验概率时遇到积分难题。VI作为确定性近似方法,旨在找到潜在变量的概率分布近似,以简化问题。
1.1 背景
在贝叶斯模型中,通常存在观测变量和潜在变量,如一组参数和它们的先验分布。VI的目标是通过可观测数据来估算潜在变量的后验分布,尽管直接求解困难,但通过引入辅助随机变量(如变分分布),将问题转化为寻找最接近真后验分布的简单形式。VI的数学框架基于这样的假设:潜在变量的分布属于某一指数族分布,如高斯分布,通过将贝叶斯公式改写为证据下界(ELBO)的形式,简化了求解过程。
1.2 数学框架
VI的关键在于利用变分分布q(Z)来近似真实后验分布p(Z|X)。通过将贝叶斯公式中的复杂积分替换为期望操作,我们得到ELBO,即:
ln p(X) ≈ E_q[ln p(X, Z) - ln q(Z)] - KL[q(Z) || p(Z|X)]
这里的KL散度衡量了q(Z)与p(Z|X)之间的差异。在VI过程中,我们通常选择一个易于处理的q(Z),如高斯分布,然后通过优化ELBO来调整q(Z)的参数λ,使得q(Z)尽可能接近真实后验。这样做的好处是,即使无法获得完整的后验分布,也能得到一个有用的近似,从而在许多实际问题中实现高效的模型训练。
在EM算法中,虽然也涉及到类似的期望最大化步骤,但VI的不同之处在于:
- 参数处理:EM算法关注的是优化特定参数值,而在VI中,参数与随机变量合并,形成随机变量的分布。
- 目标不同:EM追求观测数据对数似然的最大化,而VI优化的是变分分布,使其更接近真实后验。
变分推断作为一种强大的工具,通过引入变分分布并优化ELBO,帮助我们在复杂概率模型中进行有效的参数估计和学习,尤其适用于大规模数据集和深层次神经网络模型的训练。
2022-08-03 上传
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