变分推断详解：思路、数学框架与应用实例

变分推断（VI）是一种在概率机器学习中常用的近似推断方法，它在复杂的概率模型中解决难以直接求解后验概率的问题。VI的主要思路源于贝叶斯公式，该公式由观测数据、参数的先验分布和似然函数构成，但求后验概率时遇到积分难题。VI作为确定性近似方法，旨在找到潜在变量的概率分布近似，以简化问题。 1.1 背景 在贝叶斯模型中，通常存在观测变量和潜在变量，如一组参数和它们的先验分布。VI的目标是通过可观测数据来估算潜在变量的后验分布，尽管直接求解困难，但通过引入辅助随机变量（如变分分布），将问题转化为寻找最接近真后验分布的简单形式。VI的数学框架基于这样的假设：潜在变量的分布属于某一指数族分布，如高斯分布，通过将贝叶斯公式改写为证据下界（ELBO）的形式，简化了求解过程。 1.2 数学框架 VI的关键在于利用变分分布q(Z)来近似真实后验分布p(Z|X)。通过将贝叶斯公式中的复杂积分替换为期望操作，我们得到ELBO，即： ln p(X) ≈ E_q[ln p(X, Z) - ln q(Z)] - KL[q(Z) || p(Z|X)] 这里的KL散度衡量了q(Z)与p(Z|X)之间的差异。在VI过程中，我们通常选择一个易于处理的q(Z)，如高斯分布，然后通过优化ELBO来调整q(Z)的参数λ，使得q(Z)尽可能接近真实后验。这样做的好处是，即使无法获得完整的后验分布，也能得到一个有用的近似，从而在许多实际问题中实现高效的模型训练。 在EM算法中，虽然也涉及到类似的期望最大化步骤，但VI的不同之处在于： - 参数处理：EM算法关注的是优化特定参数值，而在VI中，参数与随机变量合并，形成随机变量的分布。 - 目标不同：EM追求观测数据对数似然的最大化，而VI优化的是变分分布，使其更接近真实后验。 变分推断作为一种强大的工具，通过引入变分分布并优化ELBO，帮助我们在复杂概率模型中进行有效的参数估计和学习，尤其适用于大规模数据集和深层次神经网络模型的训练。