数值积分：牛顿-柯特斯公式与高斯型求积

"数值积分是计算定积分的一种方法，主要应用于那些无法直接求出原函数的情况。这一讲主要介绍了求积公式及其代数精度的概念，包括牛顿-柯特斯公式、复化求积公式、龙贝格公式和高斯型求积公式。这些公式都是基于数值求积的基本思想，即通过在区间内选取特定节点，利用加权平均来估算函数的积分。" 在数值积分中，求积公式是关键工具，它们允许我们对那些无法解析求解的函数进行积分估算。代数精度是指求积公式能够精确积分的最高次多项式阶数。例如，一个具有代数精度p的求积公式可以精确地计算所有次数不超过p的多项式函数的积分。 牛顿-柯特斯公式是基本的数值积分方法，它通过在区间[a, b]上将函数f(x)划分为n个子区间，并在每个子区间的端点取函数值，然后通过一定的线性组合来估算积分。复化求积公式则是在牛顿-柯特斯公式的基础上增加内部节点，提高估算精度。龙贝格公式是一种递归的数值积分方法，特别适合大区间积分的计算。高斯型求积公式，如高斯- Legendre公式，通过在区间内选择特定的节点（高斯点）和相应的权重，能够以较高的代数精度进行积分计算。 数值求积的基本思想源于积分中值定理，即任何曲边梯形的面积可以通过多个小矩形的面积和来近似。通过选取适当的节点和求积系数，可以构建不同类型的机械求积公式，这些公式中的求积节点是函数值被采样的位置，而求积系数则是用于加权求和的权重。 定积分的计算通常包括四个步骤：分割、近似、求和和取极限。首先，将积分区间[a, b]分割成多个小的子区间；其次，用每个子区间内的简单形状（如矩形或梯形）近似函数曲线；然后，计算这些简单形状的面积并求和；最后，当子区间无限细分时，求和结果的极限即为定积分的精确值。 矩形公式是数值积分的简单形式，它通过在区间两端点和中间点取函数值来估算积分。如果函数在区间内可微，可以在a处进行泰勒展开，通过比较泰勒级数与函数值的差来评估误差。 总结来说，数值积分是解决实际问题中遇到的复杂积分问题的重要手段，通过各种求积公式和方法，我们可以对不可解析积分进行有效的数值估算，从而在工程、物理、统计等多个领域得到广泛应用。