背包问题的0-1整数规划模型与求解

"优化小练习.doc" 本资源是一个关于优化问题的练习，具体是背包问题的实例，涉及到0-1整数规划模型的构建与求解。背包问题是一个经典的运筹学问题，通常用于决策如何在有限的容量下选择物品以最大化价值。 1. 背包问题描述：给定一组物品，每件物品有特定的重量和价值。目标是在不超过背包总承重的前提下，选取物品以最大化总价值。在这个案例中，背包的重量上限为30kg，共有9件物品，每件物品的重量和价值在表格中给出。 2. 模型建立：背包问题可以用0-1整数规划模型来表示。这里的决策变量是[xi]，表示是否选择第i件物品，xi = 1表示选择，xi = 0表示不选。目标函数是要最大化总价值，即求解 max(10*x1 + 45*x2 + 30*x3 + 100*x4 + 150*x5 + 90*x6 + 200*x7 + 180*x8 + 300*x9)。同时，需要满足重量约束，即2*x1 + x2 + x3 + 2.5*x4 + 10*x5 + 6*x6 + 5*x7 + 4*x8 + 3*x9 <= 30。 3. 求解方法：可以使用专门的优化软件，如Lindo或Lingo来求解。Lingo支持线性和非线性规划，对于0-1整数规划，需要设置变量为二进制类型，即@BIN(x1), @BIN(x2), ..., @BIN(x9)。程序中的模型定义包括目标函数和约束条件，最后以"END"结束。 4. Lingo语法简述： - 模型定义：以"MODEL:"开始，"END"结束。 - 目标函数：定义求解的目标，如"max=..."。 - 约束条件：定义模型的限制，如"2*x1+x2+x3+2.5*x4+10*x5+6*x6+5*x7+4*x8+3*x9<=30"。 - 变量设置：@BIN或@GIN用于指定变量类型，前者用于二进制变量，后者用于整数变量。 通过Lingo软件运行上述程序，可以得到最优解，即哪些物品应该被选择，以达到背包问题的最大价值。这个问题的解决方案不仅提供了优化理论的实际应用，还展示了如何将实际问题转化为数学模型并用计算机软件求解。