EM算法在三硬币模型中的应用

"这篇资料主要介绍了概率图模型中的期望最大化(EM)算法，并通过一个三硬币模型来具体阐述其应用。" EM算法是一种在处理含有隐变量的统计推断问题时，寻找参数最大似然估计的有效方法。在这个模型中，我们有一个三硬币模型，每个硬币有不同的正面概率（π对应硬币A，p对应硬币B，q对应硬币C）。观察到的变量是Y，表示实验结果，而隐藏变量是Z，表示实际投掷的硬币类型。我们的目标是估计这三种硬币正面出现的概率，即θ=(π, p, q)，但在实际实验中，我们只能看到结果Y，而无法得知是哪枚硬币被投掷。 首先，我们需要理解EM算法的基本思想：在E步骤（期望步）中，我们固定当前的参数估计，计算出隐变量的后验概率分布；在M步骤（极大化步）中，我们利用E步骤得到的信息更新参数估计，使得似然函数的对数值最大化。这个过程不断迭代，直到参数估计收敛。 在三硬币模型中，E步骤计算的是在当前参数θ(i)下，观测数据Y来自每种硬币的概率，即μ(i)表示Y来自硬币B的概率。M步骤则根据这些概率更新π、p和q的估计值，新的估计值θ(i+1)由E步骤得到的μ(i)计算得出。 公式表达如下： 1. E步骤：计算μ(i)表示Y=j来自于硬币B的概率，即 μ(i) = Σ_j (π(i)p(i)(1-p(i)) + (1-π(i))q(i)(1-q(i))) * (y(j)i * (1-y(j)i)) 2. M步骤：根据μ(i)更新参数估计，如 π(i+1) = (i+1) * μ(i) / n, p(i+1) = (i+1) * μ(i) * Σ_j y(j)i / (i+1) * Σ_j j, q(i+1) = (i+1) * (1 - μ(i)) * Σ_j (1 - y(j)i) / (i+1) * Σ_j (1 - j) 整个EM算法的迭代过程就是反复执行E步和M步，直到参数估计的改变足够小或者达到预设的迭代次数，从而得到硬币正面概率的最大似然估计。 这个例子展示了EM算法如何在观测数据不完整的情况下，通过迭代优化找到最佳参数估计。它在机器学习、统计学和自然语言处理等领域有着广泛的应用，如混合高斯模型、隐马尔科夫模型(HMM)等。通过EM算法，我们可以解决在实际问题中遇到的复杂推断挑战。