华南理工线性代数期末复习重点：矩阵与方程组

"华南理工大学提供的线性代数期末考试复习资料，包含2010-11学年上学期的线性代数试卷，涵盖填空题、选择题和判断题，主要涉及矩阵理论和线性方程组的解的情况、正定矩阵的性质、矩阵运算及行列式的应用。" 在华南理工大学的这份数学复习资料中，我们可以看到一些重要的线性代数知识点： 1. **线性方程组的解的存在性和唯一性**：填空题第一题提到了线性方程组AX=B的解的条件，这涉及到矩阵A的秩和向量B的关系。根据线性代数的基本定理，当矩阵A的秩等于其列数m时，方程组有唯一解；若A的秩小于m，但B可由A的列向量张成，则存在无穷多解；若A的秩小于m且B不能由A的列向量张成，则无解。 2. **正定矩阵的性质**：第二题提到了矩阵的正定性，一个实对称矩阵A满足ATA是正定的充要条件是A的所有特征值都是正的。这与二次型理论紧密相关，正定矩阵可以确保相关的二次型是正定的，即所有变量的二次形式都是非负的。 3. **矩阵的初等变换**：第三题中提到了单位矩阵E的行操作，这涉及到矩阵的初等行变换，其中P(i(k))表示将单位矩阵的第i行乘以k，其逆矩阵可以通过将第i行除以k来获得。 4. **伴随矩阵和行列式**：第四题提到了2011阶正交矩阵A的伴随矩阵A*，以及det(A)和det(AT)的关系。对于正交矩阵，其行列式det(A) = det(AT) = ±1，而伴随矩阵的行列式满足det(A*) = (det(A))^n-1，这里n是矩阵的阶数。因此，给定的表达式det((det(AT)A*)等于1。 5. **矩阵的行和列操作**：第五题涉及矩阵的行和列操作，这与矩阵的线性组合有关。将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵，其逆矩阵是将第j行乘-k减去第i行。同样，将矩阵A的第i列乘k加到第j列，可以理解为矩阵A与特定的初等矩阵相乘的结果。 选择题部分涵盖了以下几个知识点： 1. **向量的转置和内积**：第一题涉及向量的转置和内积的性质。根据向量的性质，α和β的点积α·β=αTβ，因此正确答案是B。 2. **矩阵的行空间和列空间**：第二题讨论了矩阵的行空间和列空间的关系。矩阵的行空间和列空间可能不同，但它们的维数是相同的，因此D是正确答案。 3. **矩阵乘法的性质**：第三题涉及矩阵乘法的逆运算。如果AB是可逆的，那么AB的逆等于B的逆乘以A的逆，所以正确答案是A。 4. **正定矩阵的性质**：第四题考察正定矩阵的伴随矩阵的性质。对于正定矩阵A，其伴随矩阵A*也是正定的，A的逆1/A也是正定的。因此，D是不成立的命题。 5. **行列式与矩阵的性质**：第五题涉及矩阵的行列式和线性方程组的解。如果矩阵的行列式不为0，则其行向量线性无关，矩阵可逆，能通过初等列变换化为单位矩阵，线性方程组有唯一解。因此，A是错误的命题。 判断题部分没有给出具体内容，但一般会涉及矩阵的秩、线性相关性、矩阵的性质等。 这些题目覆盖了线性代数的核心概念，包括矩阵的运算、线性方程组的解、矩阵的性质（如正定性）、向量的运算以及矩阵的秩等，是复习线性代数的重要参考资料。