期末复习：概率论与数理统计关键知识点总结

在概率论与数理统计的期末复习中，重要知识点涵盖离散型和连续型随机变量的基本概念、分布以及相关概率分布函数。首先，离散型随机变量如两点分布、二项分布和泊松分布是核心内容。两点分布以一个二元取值（0和1）的随机变量X为例，其概率分布、期望和方差分别为p(0) = p, p(1) = 1-p，期望E(X) = p, 方差Var(X) = p(1-p)。二项分布则基于独立重复试验，X~b(n,p)，其期望和方差分别为E(X) = np, Var(X) = np(1-p)。 泊松分布以单一事件在固定时间间隔内发生的次数为模型，其概率分布、期望和方差分别为P(X=k) = (λ^k)e^(-λ)/k!, λ表示平均发生次数，E(X) = Var(X) = λ。 接下来，我们转向连续型随机变量，如均匀分布、指数分布和正态分布。均匀分布X~U(a,b)的概率密度函数为f(x) = 1/(b-a)，期望和方差分别为E(X) = (a+b)/2, Var(X) = (b-a)^2/12。指数分布X~e(λ)的概率密度函数f(x) = λe^(-λx), 其期望E(X) = 1/λ, 方差Var(X) = 1/λ^2。 正态分布，即高斯分布，X~N(μ,σ^2)，其概率密度函数f(x) = (1/σ√(2π))e^(-(x-μ)^2/(2σ^2)), 期望E(X) = μ, 方差Var(X) = σ^2。标准正态分布是均值为0，方差为1的正态分布，它在很多统计推断中扮演关键角色，如Z分数和标准正态分布表用于计算给定概率对应的Z值。 最后，随机变量的分布函数是描述随机变量取值可能性的重要工具，它定义了随机变量小于或等于某个值的概率。对于正态分布，定理1指出当X~N(μ,σ^2)时，其分布函数的特定性质。 这些知识点是期末复习时的关键要素，理解并掌握它们将有助于深入理解概率论与数理统计的核心原理，并能有效地解决实际问题。