多元函数微分法及其应用

微积分下复习大纲设计 本文档主要讲述微积分下多元函数微分法及其应用，涵盖多元函数的基本概念、极限、连续性、偏导数等重要知识点。 一、多元函数的基本概念 多元函数是指一个函数的自变量为多个变量的函数，例如二元函数f(x,y)，三元函数f(x,y,z)等。多元函数的概念是微积分下最基础的知识点之一。 教学目标： * 掌握多元函数的概念 * 掌握二元函数的几何表示、极限、连续的概念 * 掌握有界闭区域上连续函数的性质 重点： * 多元函数的极限 * 多元函数的连续性 难点： * 多元函数的连续性 教学活动： 1. 多元函数的概念 * 平面点集（邻域、聚点、区域）、n维空间 * 二元函数的概念（定义、图形） * 例题 二、多元函数的极限 多元函数的极限是指函数在某点趋近于某个值的极限。多元函数的极限运算法则与一元函数类似。 教学活动： 1. 例题 * 求证lim(x^2+y^2)sin(-2)=0 * 求极限lim(xy)'sin(xy) 2. 二元函数求极限的方法： * 定义 * 代换成一元函数 * 夹逼准则 * 重要极限 * 应用连续性等 3. 确定极限不存在的方法： * 令P(x,y)→Po(xo,yo)，若极限值与k有关，则可断言极限不存在 * 找两种不同趋近方式，使limf(x,y)存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在 三、多元函数的连续性 多元函数的连续性是指函数在某点的值趋近于该点的值。 教学活动： 1. 定义（连续、间断点） 2. 例题 * 讨论函数f(x,y)={x^2y/(x^2+y^2)}在(0,0)处的连续性 * 讨论函数f(x,y)=xy/(x^2+y^2)在(0,0)处的连续性 3. 性质 * 最大最小值定理 * 介值定理 * 一致连续性定理 四、偏导数 偏导数是微积分下一个重要的概念，它是指函数对某个变量的导数。 教学目标： * 理解多元函数偏导数的概念 * 掌握偏导数和高阶偏导数的求法 重点： * 偏导数的概念 难点： * 偏导数计算 教学活动： 1. 偏导数的定义及其计算法 2. 例题 * 求z=x+3xy+y^2在点(1,2)处的偏导数 本文档涵盖了微积分下多元函数微分法及其应用的重要知识点，包括多元函数的基本概念、极限、连续性、偏导数等。