数学统计学笔记：伯努利分布、正态分布和泊松分布

统计学2 - 数学统计学 统计学是数学的一个分支，研究的是数据的收集、分析和解释。统计学2是统计学的延伸，研究的是数学统计学的基础知识和方法。 **Bernoulli Distribution** Bernoulli 分布是统计学中的一种离散概率分布。它是指在一个 Bernoulli 实验中成功的次数的分布。Bernoulli 分布的概率密度函数（p.d.f.）为： f(x) = p^x \* (1-p)^(1-x) 其中，p 是成功的概率，x 是成功的次数。 **Binomial Distribution** 二项分布是统计学中的一种离散概率分布。它是指在 n 个独立的 Bernoulli 实验中成功的次数的分布。二项分布的概率密度函数（p.d.f.）为： f(x) = (n choose x) \* p^x \* (1-p)^(n-x) 其中，n 是实验次数，x 是成功的次数，p 是成功的概率。 **Normal Distribution** 正态分布是统计学中的一种连续概率分布。它是指一个随机变量的分布，服从均值为 μ，方差为 σ^2 的正态分布。正态分布的概率密度函数（p.d.f.）为： f(x) = 1 / sqrt(2 \* π) \* e^(-((x-μ)^2) / (2 \* σ^2)) 其中，μ 是均值，σ 是标准差。 **Standard Normal Distribution** 标准正态分布是正态分布的一种特殊情况，均值为 0，标准差为 1。标准正态分布的概率密度函数（p.d.f.）为： f(x) = 1 / sqrt(2 \* π) \* e^(-x^2 / 2) **Poisson Distribution** 泊松分布是统计学中的一种离散概率分布。它是指在一个具有固定平均率 λ 的泊松过程中的事件次数的分布。泊松分布的概率密度函数（p.d.f.）为： f(x) = λ^x \* e^(-λ) / x! 其中，λ 是平均率，x 是事件次数。 **Theorem** 如果我们让 λ = np，则二项分布的概率密度函数（p.d.f.）可以近似为泊松分布的概率密度函数（p.d.f.）。 f(x) = (n choose x) \* p^x \* (1-p)^(n-x) → λ^x \* e^(-λ) / x! 其中，n 是实验次数，p 是成功的概率，λ 是平均率。 **Definition** 我们说一个随机变量 X 服从泊松分布，如果它的概率密度函数（p.d.f.）为： f(x) = λ^x \* e^(-λ) / x! 其中，λ 是平均率，x 是事件次数。