三维空间中刚体姿态表示：旋转变换解析

"slam旋转变换手册.pdf" SLAM（Simultaneous Localization And Mapping，同时定位与建图）是机器人领域中的关键技术，特别是在无人驾驶、无人机、服务机器人等应用中至关重要。该手册详细介绍了用于表示三维空间中刚体姿态的三种主要数学结构：旋转矩阵、欧拉角和单位四元数，以及作为补充的旋转向量。 1. **旋转矩阵**： 旋转矩阵是3x3的正交矩阵，表示三维空间中一个坐标系相对于另一个坐标系的旋转。它具有以下特性：逆矩阵等于其转置（R^T = R^-1），行列式为1（det(R) = 1）。旋转矩阵通过行或列向量来定义旋转轴和旋转角度，可以表示任意角度的连续旋转，但不适用于连续多次旋转的组合，因为这会导致计算复杂且易引入误差。 2. **欧拉角**： 欧拉角通常分为三类：Z-Y-X（也称为Cardan或Tait-Bryan）角、Y-X'-Z''角等，用于表示物体绕三个相互垂直轴的旋转顺序。欧拉角直观且易于理解，但在某些旋转顺序下会出现所谓的万向节死锁（gimbal lock），即在特定角度时，两个旋转轴重合，导致失去一个自由度，从而限制了表示能力。 3. **单位四元数**： 单位四元数是一种复数扩展，用于表示三维空间中的旋转。四元数避免了旋转矩阵的万向节死锁问题，并且具有平滑的插值特性，适用于运动学和动力学的连续表示。一个单位四元数由实部和三个虚部构成，其中实部表示旋转的大小，虚部表示旋转的方向。转换到或从旋转矩阵和欧拉角进行四元数的运算通常需要特定的公式。 4. **旋转向量**： 旋转向量，又称欧拉-罗德里格斯参数，是单位长度的向量，结合了欧拉角的直观性和单位四元数的无奇异性质。通过旋转向量，可以方便地进行旋转的组合和插值，且没有旋转矩阵的计算复杂性或欧拉角的万向节死锁问题。旋转向量与旋转矩阵和单位四元数之间存在明确的转换关系。 此外，手册还提到了其他次要表示方法，如凯莱-克莱因参数和轴角表示，它们与上述主要表示形式有特定的关系，为理解姿态表示提供了更全面的视角。对于SLAM学习者来说，深入理解这些旋转和变换概念是至关重要的，因为它们构成了机器人定位和导航算法的基础。虽然手册未提供详尽的推导过程，但它提供了一个统一的参考框架，有助于读者掌握这一主题的核心内容。