Python实现牛顿法与梯度下降法：多元线性回归求解

本篇文章主要介绍了如何通过Python编程实现多元一次函数的线性回归，特别是利用牛顿法和梯度下降法来解决这一问题。首先，让我们概述一下这两种优化方法。 **梯度下降法原理** 梯度下降是一种优化算法，用于寻找函数的局部最小值。其基本思想是沿着函数梯度的反方向逐步调整参数（θ），以降低损失函数（或代价函数）的值。梯度（Δ）是函数f(θ)对参数θ的偏导数，表示函数在当前点变化最快的方向。公式表达为Δ = df(θ) / dθ。在梯度下降算法中，参数的更新规则是θ = θ0 - η * Δf(θ0)，其中η（学习率）控制每次迭代的步长，较小的学习率可以保证收敛但速度较慢，较大的学习率可能导致发散。 **求解二元一次线性回归的梯度下降法** 具体到二元一次线性回归（y = θ1 * x1 + θ2 * x2 + θ0），作者使用了Python的pandas和numpy库。首先，数据被导入并分为特征（x_data）和目标变量（y_data）。接下来，定义了初始参数（θ0, θ1, θ2），学习率（lr）、最大迭代次数（epochs）以及一个计算损失函数的函数（compute_error），它计算每个样本点的误差平方和平均值，作为模型性能的度量。 在`gradient_descent_runner`函数中，通过for循环迭代执行梯度下降算法，每次迭代更新θ0、θ1和θ2的值，直到达到预设的迭代次数或满足某个停止条件。这个过程会反复调整参数，直到找到使损失函数最小化的最优解，即线性回归方程的参数估计。 **牛顿法与梯度下降法的比较** 牛顿法是一种更为精确但计算成本较高的优化方法，它使用的是函数的二阶导数（Hessian矩阵），能更快速地接近局部最小值。相比之下，梯度下降仅依赖于一阶导数，对于大型数据集可能不够高效，但在小规模数据和高维空间中表现良好。 总结起来，本文通过Python代码展示了如何运用梯度下降法求解二元一次线性回归问题，并简要提到了牛顿法作为优化手段的另一种选择。实际应用中，选择哪种方法取决于数据规模、计算资源和对精度的要求。