图的 UNION/FIND 定义与数据结构

" UNION/FIND定义-chapter4图" 在图论和数据结构中，UNION/FIND（并查集）是一种用于处理不相交集合的数据结构。它主要应用于解决两个节点是否属于同一个集合的问题，以及合并两个集合的操作。在给定的描述中，我们看到了一个`UFSets`类的实现，这是并查集的一个典型实现。 **并查集（UNION/FIND）定义：** 并查集是一种树形结构，用于维护一个集合的分解，其中每个集合都是由若干个节点构成的树。在这个结构中，每个节点代表一个元素，而根节点代表该元素所在的集合。并查集的核心操作是`Find`和`Union`。 1. **Find操作**：用于确定一个元素所属的集合。通常，这个操作会返回一个代表集合的根节点。在路径压缩的优化下，Find操作会将从查询节点到根节点的路径上的所有节点直接指向根节点，以减少后续查找的时间。 2. **Union操作**：用于将两个元素所属的集合合并为一个集合。在实现时，一般选择一个集合的根节点作为合并后集合的新根。为了保持集合的平衡，可以采用两种策略： - **按秩合并**：选择根节点秩（树的高度或子节点数量）较小的集合作为新根，这样可以尽量保持树的扁平化，提高查找效率。 - **路径压缩**：每次Find操作时将路径上的所有节点直接指向根节点，使得后续查找更快。 在提供的`UFSets`类中，`n`代表集合的元素数量，`root`数组存储每个元素的根节点，`next`和`length`数组可能是用于辅助实现路径压缩和按秩合并的。类的构造函数`UFSets(int size)`初始化这些数组，`Find(int v)`方法返回元素`v`的根节点，`Union(int v, int u)`方法合并元素`v`和`u`所在的集合。 **图的基本概念：** 图是一种抽象的数据结构，由顶点（Vertex）和边（Edge）组成。每个顶点代表一个数据元素，而边则表示顶点之间的关系。根据边的方向，图可分为两类： 1. **无向图**：边没有方向，两个顶点之间可以互相到达。例如，`(v1, v2)`表示顶点`v1`和`v2`之间有一条边，同时 `(v2, v1)`也存在。无向图的边可以理解为顶点对的无序集合。 2. **有向图**：边有方向，从一个顶点（弧尾）指向另一个顶点（弧头）。例如，`<v1, v2>`表示有一条从`v1`到`v2`的弧，但不是从`v2`到`v1`。有向图的边可以理解为顶点对的有序集合。 **带权图**：如果每条边或弧都附带有数值，这个数值被称为权重，它可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离、耗费等含义。 **图的基本性质：** 对于一个包含`n`个顶点的图，边的数量`e`有以下限制： - 在无向图中，`0 ≤ e ≤ n(n-1)/2`，因为每条边连接两个不同的顶点，而每对顶点最多只有一条边。 - 在有向图中，`0 ≤ e ≤ n(n-1)`，每个顶点可以有`n-1`条出边，但考虑到边的方向，没有自环（顶点到自身的边）。 当图中的每对顶点之间都有一条边时，这样的图被称为**完全图**。 在实际应用中，图广泛应用于网络路由、社交网络、最短路径计算、图形渲染等领域。并查集在处理这类问题时，如判断两个顶点是否连通，或寻找最小生成树等，都能提供高效的解决方案。