Metropolis-Hastings采样算法在MCMC中的应用

"Metropolis算法是Markov Chain Monte Carlo (MCMC)方法中的一种，它在统计物理和计算科学中广泛使用，特别是在处理高维概率分布的采样问题上。这个算法是由Metropolis、Rosenbluth、Rosenbluth、Teller和Teller在1953年提出的，后来被Hastings在1970年推广，形成了现在所说的Metropolis-Hastings算法。本文可能涵盖了这两个重要人物的工作，以及如何应用他们的方法来解决概率计算问题。 Metropolis算法的核心思想是通过构建一个马尔科夫链，使得在足够长的时间后，链的每个状态的访问概率与目标分布的概率成正比，从而实现对目标分布的等概率采样。在这个过程中，算法会进行一系列的随机漫步，每次尝试从当前状态转移到一个新的状态。转移的接受与否依据一个接受率函数，该函数考虑了新状态和旧状态的相对概率。 描述中的"rejection algorithm"是John von Neumann提出的一种基础的模拟方法，用于从特定的概率分布中采样。这种方法简单来说就是：首先从一个容易生成的分布（通常是均匀分布）中进行采样，然后根据目标分布的概率比较判断是否接受这个样本。如果新的样本被接受，则用于生成样本的分布就起到了近似目标分布的作用；如果不接受，就继续下一次采样，直到找到一个合适的样本。 在实际应用中，Metropolis算法的步骤通常包括以下几步： 1. 初始化：从一个状态开始（可以是任意状态）。 2. 提议移动：根据某个提议分布（如随机行走）生成一个新的状态。 3. 计算接受率：比较新状态和旧状态在目标分布下的概率，计算接受新状态的概率。 4. 决策：以计算出的接受率为概率接受新状态，否则保持旧状态。 5. 重复：不断执行上述步骤，形成一个马尔科夫链。 Metropolis-Hastings算法是对原始Metropolis算法的扩展，允许提议分布不对称，即新状态到旧状态的概率不一定等于旧状态到新状态的概率。这增加了算法的灵活性，使得在更复杂的情况下也能有效采样。 在解决如统计物理中的粒子系统、机器学习中的参数估计、贝叶斯分析等领域的问题时，Metropolis算法及其变体是不可或缺的工具。通过大量的采样，MCMC方法能够逼近难以直接解析的复杂概率分布，从而获得其性质和参数的估计。 文章中提到的背景故事，关于Stan Ulam在医院计算纸牌游戏的概率，以及John von Neumann提出的拒绝算法，都是科学史上有趣的小插曲，展示了这些统计方法的起源和早期应用。这两个故事也突显了随机抽样在解决实际问题中的价值和重要性。"