并查集优化：路径压缩技术详解

"这篇讲义主要讨论了并查集这一数据结构，并重点介绍了路径压缩优化技术，用于提高判断两个元素是否属于同一集合的效率。并查集常用于处理不相交集合的合并问题，例如在Kruskal算法中判断添加边是否会形成环。" 在并查集中，主要有两个核心操作： 1. 合并两个不相交集合：通过找到两个元素各自的根节点（集合的代表），然后将其中一个根节点设置为另一个根节点的父节点，从而实现集合的合并。为了保证合并后的树尽可能平衡，通常会采用路径压缩或按秩合并等优化策略。 2. 判断两个元素是否属于同一集合：通过`Find_Set`函数，沿着元素的父节点链向上查找，直到找到根节点。路径压缩的优化策略是在返回的过程中，将沿途的所有节点直接指向它们的根节点，大大减少了后续查询的时间复杂度。 Kruskal算法是求解图的最小生成树的一种贪心算法，它按照边的权重从小到大进行选择，每次尝试添加一条边，只有当这条边连接的两个顶点不在同一集合中时才添加。为了快速判断两个顶点是否连通，Kruskal算法利用了并查集的功能。每次添加边之前，先用`Find_Set`检查两个端点是否已经属于同一个集合，如果不是，则将这两个集合合并。 `Make_Set`函数用于初始化并查集，给每个顶点分配一个唯一的父节点，通常是自身，同时初始化秩（表示树的高度）为0，这在后续的合并操作中会有用。 `Find_Set`函数是并查集的核心，它递归地沿着父节点链查找，直到找到根节点。路径压缩在此处体现，即在回溯过程中将所有中间节点的父节点直接指向根节点，这样在下次查询时可以更快地到达根节点。 `Union`函数负责合并两个集合，它首先通过`Find_Set`找到两个集合的根节点，然后将一个根节点设置为另一个根节点的父节点。在实际实现中，可能还会考虑根据集合的秩进行合并，以保持树的平衡，但这在当前的路径压缩讨论中并未提及。 路径压缩是并查集的一个重要优化，它可以将查找元素根节点的时间复杂度降低到近乎线性，从而极大地提高了并查集在处理大量集合合并和查询时的效率。在实际应用中，如Kruskal算法求解最小生成树，路径压缩的作用尤为显著。