类Broyden族非拟牛顿算法的全局收敛性研究

本文主要探讨了类Broyden族非拟牛顿算法对于一般目标函数的全局收敛性问题。在无约束最优化问题中，作者关注的是寻找使函数f(x)达到最小值的解，其中f(x)是一个连续可微的目标函数。在这个背景下，类Broyden族校正公式被引入作为一种新的方法来研究拟牛顿算法的收敛特性。 传统的拟牛顿方法，如BFGS（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）算法，依赖于构造一个近似Hessian矩阵Bk来逼近目标函数的局部曲率。在迭代过程中，通过线搜索策略确定步长δk，更新迭代点Xk+1。文章的核心在于定义了一个修正矩阵Bk+1，它满足拟牛顿方程，即Bk+1Δk=ik，其中Δk是搜索方向。 类Broyden族是一种广义的Broyden算法，允许矩阵Bk具有两个参数，这使得算法更加灵活，能够适应更广泛的问题。文章回顾了早期关于拟牛顿方法的研究进展，例如Powell的局部收敛性和超线性收敛性证明，以及Byrd等人对限制Broyden凸族的扩展。刘光辉和韩继业的工作进一步推进了全局收敛性的理解，他们使用更广泛的搜索技术结合Broyden凸族，特别是在凸目标函数的情况下。 本文的主要贡献在于提出了一种双参数类Broyden族校正公式，通过这种方法，作者试图解决无约束最优化问题中拟牛顿算法对一般目标函数全局收敛性这一开放性问题。作者探讨了这种算法如何处理一般情况下的目标函数，包括可能存在的非凸性，以及如何通过线搜索和修正矩阵的更新来保证收敛。该工作对于理解和改进非拟牛顿算法的理论基础以及实际应用具有重要意义。 研究者们持续关注这一领域，因为拟牛顿方法在全球优化中的高效性和广泛应用性。然而，尽管已经取得了一些重要的理论成果，对于某些复杂或非凸的目标函数，全局收敛性的证明仍然是挑战。本文的工作为未来的研究提供了新的视角和工具，有助于推动这一领域的前沿发展。