2021福建大一轮复习：幂函数关键知识点与习题解析

在2021届的大一轮复习中，针对福建省理科学生设计的学案9聚焦于幂函数这一重要概念。幂函数是一种特殊的函数形式，它由形如\( y = x^{\alpha} \)的函数定义，其中\( x \)是自变量，而\( \alpha \)是一个常数。掌握幂函数的关键在于理解其基本性质。 1. 幂函数的概念： - 形式上，幂函数是变量x的指数次方，其中指数(\(\alpha\)）是常数。 - 自变量x代表数值的输入，而常数\(\alpha\)决定了函数的行为。 2. 幂函数的性质： - 所有幂函数在实数集(\(\mathbb{R}\))上都有定义，因为任何实数的任意次方都是有意义的。 - 它们的图象都会通过点(1,1)，这是幂函数的一个基本特征，因为\(1^{\alpha} = 1\)对于所有实数\(\alpha\)成立。 - 在第一象限内，当\(\alpha > 0\)时，幂函数的图象上升，表示函数在该区间内是增函数；而当\(\alpha < 0\)时，幂函数是下降的，且图像总是位于原点的下方。 3. 自我检测部分： - 第1题考察了幂函数图形的识别，根据图形形状可以判断n的正负值，C选项符合曲线C1至C4的图形特征。 - 第2题要求对给出的四个函数（指数函数、对数函数、倒数函数和分数指数函数）进行图象排列，正确顺序应是指数函数、倒数函数、对数函数，最后是分数指数函数，即D选项。 - 第3题考查幂函数的奇偶性和定义域，当\(\alpha\)为1或3时，\(y = x^{\alpha}\)为奇函数，因此C选项正确。 - 第4题要求找到与给定函数\(y = \frac{1}{x}\)外形相同的函数，这四个选项中只有\(y = \frac{1}{x}\)与之相同，即B选项。 - 第5题给出了幂函数\(f(x)\)的一个点(，3)，通过解方程可以得出f(x)的解析式为\(f(x) = x^3\)，因此A选项正确。 探究点一讨论了幂函数的定义和具体函数图象，例如通过两点确定幂函数解析式，并分析函数值的关系。 变式迁移1则涉及到函数复合，通过两个不同幂函数的交点坐标，求解新函数\(h(x)\)并分析其最大值和单调区间。 探究点二关注幂函数的单调性比较，通过一系列数值的大小关系来理解幂函数随着x值变化时的增长趋势，包括正数次幂、负数次幂以及分数指数幂的情况。 2021届福建省理科的大一轮复习学案9着重于幂函数的基本概念、图象特征、性质及其应用，通过实例和练习帮助学生深入理解和掌握幂函数的精髓。