算法刷题攻略：二分法与差分法解析

"ifference_array(arr, operations): res = [0] * len(arr) for op in operations: left, right, diff = op range_sum(res, left, right, diff) return res 在上面的代码中，我们定义了两个函数，`range_sum` 和 `build_difference_array`。`range_sum` 函数用于更新数组中某个区间的元素，它接受一个数组、区间左边界、右边界以及差值作为参数。通过直接修改数组元素来实现区间加减操作。`build_difference_array` 函数则用于构建差分数组，它接收一个原始数组和一系列区间操作，通过对每个操作应用 `range_sum` 更新差分数组。差分数组可以高效地解决区间累加或累乘问题，因为它允许我们以线性时间复杂度处理多个操作。 ### 3. 动态规划-动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种解决问题的方法，它将复杂问题分解成相互重叠的子问题，通过解决子问题并存储结果以避免重复计算。动态规划常用于求解最优化问题，如最长公共子序列、背包问题、斐波那契数列等。状态转移方程是动态规划的核心，它描述了如何从一个状态转移到另一个状态。```python def fibonacci(n): dp = [0, 1] + [0] * (n - 1) for i in range(2, n + 1): dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] return dp[n] 这里是一个计算斐波那契数列的动态规划示例。我们创建一个列表 `dp` 来存储斐波那契数列的前 `n` 项，初始化前两项为0和1。然后通过循环计算剩余的项，每个新项都是前两项的和。这种方法避免了递归导致的重复计算，提高了效率。 ### 4. 贪心算法-贪心算法（Greedy Algorithm）在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优。贪婪策略并不保证总是能得到全局最优解，但在某些情况下能得出满意的结果。例如，霍夫曼编码和Prim's最小生成树算法都是贪心算法的应用。### 5. 递归-递归（Recursion）是函数直接或间接调用自身的过程。在算法中，递归通常用于解决具有自相似性质的问题，如树的遍历（DFS和BFS）。递归的关键在于必须有一个明确的终止条件（base case）和正确的递归步骤。```python def dfs(graph, node, visited): visited[node] = True print(node) for neighbor in graph[node]: if not visited[neighbor]: dfs(graph, neighbor, visited) 这是一个深度优先搜索（DFS）的递归实现。函数 `dfs` 接受图、节点和已访问节点集合作为参数。当访问到一个新节点时，标记它为已访问，并对它的邻居进行递归调用，直到所有可达节点都被访问。 ### 6. 字典树（Trie）-字典树（也称为前缀树或Trie树）是一种用于存储关键字的数据结构，它支持高效的插入、删除和查找操作。每个节点代表一个前缀，根节点代表空字符串，子节点代表一个字符。这使得我们可以以O(key.length)的时间复杂度查找具有相同前缀的关键词。### 7. BFS-广度优先搜索（Breadth-First Search）是一种树或图的遍历算法，它按照层次顺序访问节点。BFS常用于寻找图中的最短路径，如二叉树的层次遍历。```python from collections import deque def bfs(graph, start): visited = set() queue = deque([start]) while queue: node = queue.popleft() visited.add(node) for neighbor in graph[node]: if neighbor not in visited: queue.append(neighbor) 这是BFS的一种实现，使用队列作为辅助数据结构。从起点开始，我们将其添加到队列中，然后逐层访问未访问过的邻居节点。 通过深入理解并熟练掌握这些算法，你可以有效地解决各种编程挑战和面试问题。不断练习和应用这些算法，你的编程技能将会显著提升。