动态规划基础与斐波那契数计算的优化策略

动态规划算法讲义深入探讨了动态规划这一核心的计算机科学概念，它主要用于解决那些具有最优解的最优化问题。这类问题通常存在多个解，目标是找到具有最大或最小价值的解，而不只是枚举所有可能的解决方案。动态规划着重于找到最优解的值和算法实现，而非单纯找出解的序列。 以计算斐波那契数列为例，动态规划的典型应用展示了如何通过分治法进行递归调用，但会遇到重复计算的问题。在原算法中，每次计算F(n)都会重新计算F(n-1)和F(n-2)，效率低下。为了解决这个问题，引入了记忆化搜索（也称为备忘录法），通过预先存储中间结果，避免重复计算，显著提高了效率。在记忆化搜索的算法1中，`save[]`数组用于存储已计算过的斐波那契数，当需要再次计算时，直接从数组中查找，而不是重复计算。 动态规划的实质是将复杂问题分解为更小、相互重叠的子问题，并利用子问题的最优解来构建原问题的最优解。这符合最优子结构的特性，即问题的全局最优解可以通过其最优的子问题解来构造。记忆化搜索正是通过这种策略来满足重叠子问题的要求，从而实现高效求解。 在设计动态规划算法时，需要关注以下关键特征： 1. 子问题的重叠性：问题可以被划分为一系列具有相同结构的子问题。 2. 最优子结构性质：问题的最优解依赖于其子问题的最优解。 动态规划是一种强大的工具，广泛应用于诸如背包问题、最长公共子序列、最短路径等计算机科学领域的问题。掌握动态规划不仅有助于提高算法效率，还能在解决复杂问题时提供一种系统化的思考框架。通过理解并熟练运用动态规划，程序员可以在实际编程中避免重复劳动，提升代码质量。