数值分析上机实习：Jacobi与Gauss-Seidel迭代法

"2019-2020第一学期数值分析上机实习题" 在数值分析领域，上机实习通常涉及实际操作和应用数值方法来解决特定问题。在这个实习任务中，学生们被要求使用两种迭代方法——雅可比（Jacobi）迭代和高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代，来求解线性方程组。这两个方法都是求解大型稀疏线性系统的重要工具，尤其是在计算机科学和工程计算中。 雅可比迭代是一种离散迭代方法，用于寻找线性方程组的解。其基本思想是将系数矩阵A分解为对角矩阵D和两个三角形矩阵L和U，即A=D-L-U，然后通过迭代公式更新解向量x。对于线性方程组Ax=b，雅可比迭代的公式可以表示为：x(k+1) = D^(-1)(b - Lx(k))。 高斯-塞德尔迭代则是在雅可比迭代的基础上改进，每次迭代时用当前估计的解替换掉上一步的下三角部分，从而加快收敛速度。迭代公式为：x_i(k+1) = (1/D_i) * (b_i - Σ_j(L_ij * x_j(k+1)) - Σ_j(U_ij * x_j(k)))，其中i = 1, 2, ..., n，并且j < i。 实习任务中给出了两个具体的线性方程组A1和A2，以及对应的右端项b1和b2。初始解x0被设为全零向量，同时设定了迭代次数m和收敛精度tol（1e-6）。实习者需要编写Matlab程序Jac_itera.m和Gau_itera.m来实现这两种迭代方法，并在主脚本ex_1.m中调用它们。然而，从运行结果来看，对于线性方程组A1，两种迭代方法在设定的最大迭代次数m=500内都没有达到收敛条件，提示可能出现了迭代次数不足的情况。这可能是由于系数矩阵的条件数较大或者迭代方法的选择不适合所导致的。 在数值计算中，迭代方法的收敛性依赖于系数矩阵的性质。对于雅可比和高斯-塞德尔迭代，矩阵A必须是对角占优或强对角占优才能保证收敛。如果矩阵不具备这样的特性，迭代可能不会收敛，或者收敛速度极慢。因此，在实际应用中，选择合适的预处理方法（如矩阵的谱收缩）或使用更高级的迭代方法（如共轭梯度法、最小二乘QR迭代等）是十分重要的。 这个实习项目旨在让学生深入理解并掌握迭代法求解线性方程组的基本概念和实现技巧，同时也强调了矩阵性质对迭代算法收敛性的影响。通过实际编程和运行，学生可以直观地观察到不同迭代方法的性能差异，进一步提升他们在数值计算中的实践能力。