耗散广义Camassa-Holm方程的整体解与动力学特性

"这篇论文是2005年发表在《江苏大学学报(自然科学版)》第26卷第1期上的，作者是丁丹平、田立新和许刚，属于自然科学领域的研究，主要探讨了具有耗散效应的广义Camassa-Holm方程的动力学特性。" 正文: 广义耗散Camassa-Holm方程是数学物理中的一个重要研究对象，特别是在流体力学和非线性动力系统中有着广泛的应用。该方程是一个描述浅水波运动的非线性偏微分方程，它在理解和预测河流、海洋等水体的波动现象中扮演着关键角色。论文的核心内容是对其解的动力学行为进行深入研究，特别是考虑了耗散效应的影响。 论文首先通过Galerkin方法，这是一种将偏微分方程转化为无穷维系统的有限维近似的方法，来分析具有耗散的广义Camassa-Holm方程的弱解存在性。在Galerkin过程中，方程被投影到一个适当的函数空间的基础集上，从而得到一个可解的有限维系统。作者发现，在m>0的条件下，对于周期边界的广义Camassa-Holm方程，其弱解全局存在。这意味着在考虑耗散作用后，解可以维持足够长时间而不发生爆破，这是非线性动力系统中稳定性的重要指标。 进一步，作者利用非线性Galerkin方法来构建方程的近似解。这种方法通过逐步迭代逼近真实解，能够处理非线性项并提供更精确的解表达。在Fourier基下进行数值模拟，即把空间变量用傅里叶级数展开，可以有效地处理周期性问题。通过这种方式，他们得到了具有耗散的广义Camassa-Holm方程的近似解，并进行了数值模拟。数值结果与理论分析相吻合，验证了理论推导的正确性。 关键词中的“Camassa-Holm方程”是指原始的无耗散版本，它描述了无粘性的浅水波。而“整体解”指的是解在整个时间域内都存在的解，这在动力系统理论中是关键的性质。“吸引子”则是指系统演化过程中吸引所有轨迹的区域，对于理解系统的长期行为至关重要。 这篇论文通过理论分析和数值模拟，深入探讨了具有耗散效应的广义Camassa-Holm方程的动力学特性，对理解和预测具有耗散的浅水波动力学行为提供了重要的理论基础。这项工作对于非线性动力学、流体力学以及相关领域的研究具有深远的影响。