有限元分析基础：网格加密与精度估计

"基于网格加密的求解精度估计——有限元分析在Office2010办公应用中的深度理解" 在有限元分析中，求解精度的估计是至关重要的，它涉及到如何评估模型在不同网格密度下的解的准确性。标题提到的"基于网格加密的求解精度估计"是有限元分析中的一个核心概念，它探讨了随着网格细化，解的质量和收敛速度的变化。 在描述中，以5.6.1节的典型例题为例，展示了如何通过单元尺寸的变化来分析精度。位移场的展开式(5-114)表明，如果单元的尺寸为h，那么位移解的误差会随着网格的细化而减小。当采用p阶完全多项式来近似位移函数时，误差将是O(h^(p+1))量级。对于3节点平面三角形单元，因为插值函数是线性的（p=1），所以位移误差是O(h^2)量级，这意味着每次网格细化，误差会减小到原来的1/4。 同样，应变、应力和应变能的误差和收敛速度也可以根据它们与位移的关系来估计。应变的误差是O(h^(m+1))，对应平面3节点三角形单元，m=p=1，应变误差为O(h^2)。应变能的误差则与应变平方项相关，因此是O(h^4)，对于这个单元，应变能误差也是O(h^4)。 在有限元分析中，如果单元满足完备性和协调性要求，当单元尺寸趋近于0时，分析结果会单调收敛。利用这一点，可以通过两次网格划分的结果外推来估计准确解。公式(5-115)和(5-116)提供了这种外推的方法，对于平面3节点三角形单元，收敛速度s=2，可以据此估算准确解。 此外，要注意的是，上述讨论的误差只考虑了网格离散误差，即由将连续域划分为有限个单元引起的误差。实际的总误差还包括数值计算过程中的误差。 5.6.2节提到了共用节点上应力的平均处理，这是有限元分析中处理节点数据的一种常见策略，尤其是在处理复杂边界条件或非均匀载荷时。这部分内容可能涉及如何在共享同一节点的不同单元间平均分配和处理应力，以确保解的一致性和稳定性。 "基于网格加密的求解精度估计"是有限元分析中的关键技术，它帮助我们理解如何通过调整网格大小来改善模型的精度，并预测收敛性。同时，共用节点上的应力处理是实现准确解的另一个关键步骤，确保了分析结果的物理合理性。这些知识对于进行结构分析、振动分析、传热分析等工程问题的解决至关重要。