MIT动态系统控制：矩阵范数与SVD详解及其应用

动态系统与控制讲义-矩阵范数与奇异值分解是电气工程与计算机科学系麻省理工学院的课程材料，由Mohammed Dahleh、Munther A. Dahleh和George Verghese编写。第四章主要探讨了矩阵理论中的核心概念，包括矩阵范数和奇异值分解（SVD）。矩阵范数是衡量矩阵大小的一种方式，它定义了一个矩阵在向量空间中的扩放能力，特别提及的是2-范数，即矩阵的归纳2-范数，它是通过比较矩阵作用于单位球上的向量后的长度来确定的，体现了矩阵的增益特性。 奇异值分解是关键部分，它揭示了矩阵的重要结构，不仅与矩阵的2-范数紧密相关，还解决了诸如完全最小二乘问题这样的扩展问题，并为后续的稳定性与鲁棒性分析奠定了基础。通过SVD，可以理解矩阵求逆对扰动的敏感性，即当矩阵受到微小变化时，解的变化可能非常显著，这在标量情况下并不常见，反映了矩阵奇异性的特点。 讲义以一个实际例子来引入矩阵状态敏感性问题，探讨了矩阵求逆过程中对扰动的响应，特别是当矩阵接近奇异时，其逆的稳定性问题。为了深入理解这个问题，章节后续会介绍度量矩阵奇异程度的方法，以及这些方法如何与矩阵求逆的灵敏度关联起来。矩阵范数的概念在此作为基础，帮助读者掌握向量和矩阵的量级衡量，为后续章节的讨论提供了数学工具。 因此，本讲义不仅是对矩阵范数和奇异值分解概念的理论阐述，也包含了实际问题的实例分析，旨在提升学生对这些关键概念的理解和应用能力。对于希望深入学习动态系统与控制的读者，这一章节是不可或缺的学习资料。