"控制工程基础课后习题答案：动态数学模型2-1拉氏变换及解答"

在控制工程基础课后习题中，第二章探讨了控制系统的动态数学模型。其中有三道题目需要求解拉氏变换，具体如下： 1) 求解函数\(f(t) = t^5 + 2t^4 + 1 + 2t + 1\) 的拉氏变换。 对于这个函数，我们需要将其进行分解，得到各项的拉氏变换，然后合并起来。 首先，该函数可以分解为\(f(t) = t^5 + 2t^4 + 1 + 2t + 1\) 然后，我们可以找到每一项的拉氏变换如下： \[ \begin{align*} L\{t^5\} &= \frac{120}{s^6}\\ L\{2t^4\} &= \frac{48}{s^5}\\ L\{1\} &= \frac{1}{s}\\ L\{2t\} &= \frac{4}{s^2}\\ L\{1\} &= \frac{1}{s}\\ \end{align*} \] 最后，我们将各项变换合并起来得到： \[ L\{f(t)\} = \frac{120}{s^6} + \frac{48}{s^5} + \frac{1}{s} + \frac{4}{s^2} + \frac{1}{s} \] 2) 求解函数\(f(t) = 135\sin(t)\) 的拉氏变换。 同样地，我们需要将函数进行分解，得到各项的变换，然后合并起来。 首先，该函数可以分解为 \(f(t) = 135\sin(t)\) 然后，我们可以找到每一项的拉氏变换如下： \[ \begin{align*} L\{\sin(t)\} &= \frac{1}{s^2+1} \end{align*} \] 最后，我们将各项变换合并起来得到： \[ L\{f(t)\} = 135\frac{1}{s^2+1} \] 3) 求解函数 \[ f(t) = \begin{cases} 0, & \text{当} t \leq 0 \\ \sin(t), & \text{当} 0 < t < \pi \\ 1, & \text{当} t \geq \pi \\ \end{cases} \] 的拉氏变换。 对于这个函数，我们可以分三个部分进行考虑： 1. 当 \(t \leq 0\) 时，函数值为0，即\(f(t) = 0\)。其拉氏变换就等于\(L\{0\} = 0\) 2. 当 \(0 < t < \pi\) 时，函数值为\(\sin(t)\)。其拉氏变换为\(L\{\sin(t)\} = \frac{1}{s^2+1}\) 3. 当 \(t \geq \pi\) 时，函数值为1，即\(f(t) = 1\)。其拉氏变换就等于\(L\{1\} = \frac{1}{s}\) 因此，将各个部分的拉氏变换合并起来，可以得到： \[ L\{f(t)\} = L\{0\} + L\{\sin(t)\} + L\{1\} = 0 + \frac{1}{s^2+1} + \frac{1}{s} \] 这样，我们就得到了三道题目中给定函数的拉氏变换。