马尔可夫链：随机过程与离散状态分析

"该文介绍了马尔科夫链的基本概念，包括分类、定义、转移概率以及马尔科夫链的应用示例，如电话总机的呼唤流和M/G/1排队系统。" 马尔科夫链是一种随机过程，其特点在于当前状态的概率分布仅依赖于前一状态，而与之前的历史状态无关，这种性质被称为“无后效性”或“马尔科夫性质”。根据状态空间和参数的不同，马尔科夫链可以分为离散状态和连续状态，以及离散时间与连续时间的组合。 1. 马尔科夫链的分类： - 离散时间、离散状态：马尔科夫链（Markov chain） - 离散时间、连续状态：可数状态马尔科夫过程 - 连续时间、离散状态：马尔科夫序列 - 连续时间、连续状态：连续状态马尔科夫过程 2. 马尔科夫链的定义： - 它是由有限或可数个状态构成的过程，每个状态代表系统的一种可能状态。 - 转移概率 pij 表示从状态 i 转移到状态 j 在一步之内的概率，且所有状态的转移概率矩阵 P 应满足概率归一化条件，即对于每个状态 i，有 ∑_j pij = 1。 3. 齐次马尔科夫链： 如果转移概率 pij 不依赖于时间 n，即 pij 与 n 无关，那么马尔科夫链称为齐次马尔科夫链。其转移概率矩阵 P 为常数，这样的链具有平稳性。 4. 转移概率矩矩阵 P 包含了所有状态间一步转移的概率。 5. 马尔科夫链的应用示例： - 电话总机的呼唤流：电话总机在给定时间间隔内接到的呼唤次数可以看作是一个齐次马尔科夫链，因为每个时间段的呼唤次数独立且服从泊松分布。 - M/G/1 排队系统：顾客到达和服务遵循泊松过程和服务时间分布 G 的随机变量，形成一个马尔科夫链，研究系统中的顾客数量动态。 马尔科夫链在许多领域都有广泛的应用，如统计力学、金融建模、生物信息学、网络流量分析、推荐系统等。通过理解并构建适当的马尔科夫模型，可以预测系统的未来行为，帮助决策者制定策略。