ACM编程：并查集(Disjoint Set)实现与优化

"ACM算法-并查集(Disjoint Set)的实现与优化" 并查集是一种数据结构，常用于处理不相交集合的问题，在ACM程序设计中有着广泛的应用。其主要目标是维护一组不相交的集合，并提供快速查询和合并两个集合的能力。在并查集中，每个集合有一个代表元，通常是该集合中编号最小的元素。 ### 实现方法（1） 初始实现是通过一个数组`set[1..n]`来表示元素所属的集合。例如，`set[i]`存储元素`i`所在的集合的代表元。这种情况下，不相交集合可以表示为：{1,3,7},{4},{2,5,9,10},{6,8}。当查找元素`i`所属的集合时，直接返回`set[i]`即可。但这种实现方式在合并集合时存在问题，因为需要遍历整个数组，时间复杂度为`Θ(N)`。 ### 方法（1）的效率分析 - **查找操作**：`find1(x)`函数直接返回`set[x]`，时间复杂度为`Θ(1)`。 - **合并操作**：`Merge1(a,b)`函数将较小集合的代表元指向较大集合的代表元，需要遍历所有元素更新，时间复杂度为`Θ(N)`。 ### 实现方法（2） 为了解决方法（1）中的效率问题，引入了"有根树"的概念，每个集合用一棵树表示，根节点是集合的代表元。`set[i]=i`表示`i`是集合的根，`set[i]=j`且`j<>i`表示`i`是`j`的子节点。这种方法在合并操作上有所优化，但查找操作变得更加复杂。 - **查找操作**：`find2(x)`函数通过路径压缩，从`x`开始向上找到根节点，时间复杂度在平均情况下远小于`Θ(N)`，但在最坏情况下可能仍是`Θ(N)`。 - **合并操作**：`merge2(a,b)`函数将小树的根节点指向大树的根节点，如果`a<b`，则`set[b]=a`，反之`set[a]=b`。在最坏情况下，每次合并都会使树的高度增加1，导致`Θ(N)`的时间复杂度。 ### 避免最坏情况 为了优化查找操作并避免最坏情况，通常会采用**路径压缩**和**按秩合并**的策略： - **路径压缩**：在`find2(x)`过程中，一旦找到根节点，就直接将所有经过的节点的父节点指向根节点，减少查找时的深度。 - **按秩合并**：在`merge2(a,b)`时，让秩（树的高度或子节点数量）较小的集合合并到秩较大的集合中，这样可以保持树的平衡，提高合并效率。 通过这两种优化策略，可以确保查找和合并操作在实际应用中达到近乎线性的平均时间复杂度，显著提升了并查集操作的效率。 在解决如题目描述中的问题时，即根据给定的友谊或敌对关系判断最多可能存在多少团伙，我们可以利用并查集的数据结构，对每一对关系进行合并操作，最终统计不同集合的数量，即为团伙的数目。通过并查集的有效实现，这个问题可以在较短时间内得到解决。