图的算法详解：拓扑排序与最小生成树

"算法设计-数据结构导论中第5章 图课件" 在计算机科学中，图是一种重要的数据结构，用于表示对象之间的关系。在本章中，我们深入探讨了图的基本概念、存储结构、遍历方法以及特殊操作如最小生成树和拓扑排序。 首先，图是由顶点集V和边集E组成的，记为Graph=(V,E)。顶点可以标记不同的字符或数字，而边可以是有向或无向的。在有向图中，边以弧的形式存在，如<v,w>表示从顶点v到顶点w的有向弧，v是弧尾，w是弧头。无向图中，边没有方向，用(v,w)表示。如果边带有数值，那么图被称为有向网或无向网。 图的子图是原图的一部分，包含原图中的一些顶点和这些顶点间的所有边。顶点的度是与该顶点关联的边的数量，在无向图中，每个边对度贡献1；在有向图中，度分为出度（作为弧尾的弧数）和入度（作为弧头的弧数）。顶点的总度等于其出度加上入度。 图的存储结构主要有两种：邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵用二维数组表示，每个元素表示一对顶点之间是否存在边。邻接表则为每个顶点维护一个列表，列出与其相连的所有顶点。对于稀疏图（边数远小于顶点数的平方），邻接表更节省空间。 图的遍历包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。DFS通过递归或栈实现，而BFS则使用队列来处理顶点的访问顺序。这两种方法广泛应用于寻找路径、判断连通性和构造最小生成树等问题。 最小生成树是指在带权重的无向图中找到一棵包含所有顶点的树，使得树的总权重最小。常见的算法有Prim算法和Kruskal算法。 拓扑排序是对有向无环图（DAG）进行线性排序的一种方法，使得对于每一条有向边<u,v>，u都在v之前。可以使用一个栈来存储入度为零的顶点，每次从栈中弹出一个顶点并输出，同时更新其他顶点的入度。这种方法可以避免重复检查入度为零的顶点。 在图理论中，还有很多其他重要概念和算法，如最短路径问题（Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法）、强连通分量、二分图等。理解并掌握这些知识对于解决许多实际问题至关重要，如网络路由、调度优化、社交网络分析等。