梅森素数下GF(2)的不可约多项式计算方法

"该资源是一篇学术论文，探讨了在有限域$GF(2)$上寻找指数为梅森素数的不可约多项式的方法。作者是王剑涛和郑东，文章介绍了模$2^n-1$的剩余类群结构，并在$2^n-1$为素数时，即梅森素数情况下，该群为循环群。通过群的结构简化计算元素$lpha$的迹，进而利用轨迹函数的置换快速确定所有本原多项式。关键词涉及密码学、有限域、分圆陪集和本原多项式。" 这篇论文主要研究的是有限域$GF(2)$中的一个重要问题，即如何找到指数为梅森素数的不可约多项式。不可约多项式在有限域的构造中扮演着关键角色，特别是在密码学和编码理论中。梅森素数$2^n-1$是一种特殊形式的素数，它们在构建大素数时特别有用，因为$GF(2^n)$可以方便地表示为二进制数系统。 文章首先引入了模$2^n-1$的剩余类群结构。当$2^n-1$为素数时，这个群成为循环群。循环群的性质使得它可以通过一个生成元生成所有群元素，这简化了计算和分析。在$GF(2)$的背景下，元素$lpha$（有限域$GF(2^n)$中的一个本原元）的幂次可以表示为模$2^n-1$的所有整数，而这些整数即为剩余类群的元素。 接着，论文讨论了如何计算$lpha$的迹。迹函数在有限域上是一个重要的算术操作，它将域元素映射到域的较小子域。在本文中，$lpha$的迹可以通过群的结构和牛顿公式来简化计算。牛顿公式是用于计算多项式根的和的一个工具，在这里被用来求解$lpha$的轨迹。 最后，作者提出了一个基于轨迹函数置换的算法，该算法能够快速地找出所有本原多项式。本原多项式是有限域$GF(2^n)$上的一个关键元素，它的零点生成域内的所有非零元素。这些多项式在密码学中用于构造线性反馈移位寄存器（LFSR），以及在编码理论中用于构造纠错码。 这篇论文提供了在特定数学背景下高效搜索本原多项式的新方法，对于理解有限域的数学结构和实际应用，如密码系统的实现，具有重要意义。关键词涵盖了该领域的核心概念，包括密码学中的安全性需求，有限域的算术特性，分圆陪集的群论概念，以及本原多项式在构建这些系统中的核心作用。