Navier-Stokes方程非协调四边形元的稳定化方法研究

"Naver-Stokes方程的非协调四边形元的稳定化方法是针对Navier-Stokes方程的一种求解策略，该方法由作者在2013年提出，发表于四川大学学报（自然科学版）第50卷第6期。此方法主要应用于解决非协调混合四边形有限元，包括P1-Q0和P1-Q1元素的稳定性和解的存在唯一性问题。" Navier-Stokes方程是流体力学中的核心方程，描述了不可压缩流体的运动规律。在有限元方法中，将其离散化求解时，通常会遇到协调和非协调元素的概念。协调元素满足特定的连续性条件，例如在节点处的值和形状函数的连续性，而非协调元素则不强制这些条件，允许元素间的不匹配。非协调元素在处理复杂几何形状和网格不规则性时具有优势，但同时也可能导致稳定性问题。 P1-Q0和P1-Q1元素是非协调四边形有限元的两种类型。这里的P1表示使用线性基函数的一次插值，即每个单元内的速度场被近似为线性函数。Q0表示压力项采用零阶矩（常数）插值，而Q1则意味着压力使用线性插值。然而，这两种元素组合可能不满足inf-sup条件，这是有限元方法中保证稳定性的一个关键条件。inf-sup条件要求压力空间和速度空间之间存在一定的兼容性，以确保解的唯一性和稳定性。 作者提出的稳定化方法针对P1-Q0和P1-Q1元素的这一不足，通过引入额外的修正项或增益项来增强系统的稳定性，从而绕过inf-sup条件的限制。这种方法不仅保证了解的稳定性，还确保了解的存在唯一性。此外，作者还证明了该方法能够获得最优误差估计，这意味着在理论上，随着网格的细化，误差将以最优速率减小。 文章的关键词强调了非协调四边形元、Navier-Stokes方程和压力投影。压力投影是有限元方法中处理Navier-Stokes方程压力项的关键步骤，它有助于保持动量守恒并保证解的质量。通过稳定化方法，作者解决了压力投影过程中的不稳定问题，这对于准确模拟流体动力学现象至关重要。 这篇论文提供了一种创新的稳定化策略，解决了非协调四边形有限元在处理Navier-Stokes方程时遇到的挑战，对于理解和应用非协调有限元方法在流体动力学问题中的计算有着重要的理论和实践价值。该研究对后续的流体模拟研究和工程应用提供了新的工具和理论基础。