希尔伯特变换与谱滤波在期权定价中的应用

本文主要探讨了希尔伯特变换、谱滤波技术在期权定价中的应用，特别是对于离散监控障碍期权的定价问题。作者通过分析和比较不同的数值方案，如Feng和Linetsky（2008年）以及Fusai、Germano和Marazzina（2016年）的方法，展示了如何使用基于sinc函数展开的离散希尔伯特变换和快速傅立叶变换来提高计算效率和收敛性。 希尔伯特变换是一种数学工具，用于将信号从时域转换到相位域，它在金融工程中用于处理复数信号和提取信号的瞬时幅度信息。在期权定价中，希尔伯特变换可以帮助求解波动率相关的随机过程，例如Lévy过程，这些过程常用于模拟股票或其他资产价格的非线性动态。 谱滤波是改善数值计算方法性能的一种策略，它可以有效地消除傅立叶变换中的吉布斯现象，即在离散数据点附近出现的不理想的振荡。在本文中，谱滤波被应用于离散希尔伯特变换，以改善数值方案的收敛速度。通过对离散监控的双障碍期权定价的案例研究，作者展示了谱滤波如何增强基于Lévy过程模型的期权定价算法的收敛性。 Lévy过程是一类广泛应用于金融数学的概率过程，它可以捕捉股票价格的跳跃行为，而不仅仅是连续变化。双障碍期权是一种特殊类型的期权，其支付依赖于标的资产价格是否在指定时间区间内触及特定的上界和下界。 文章还提到了Spitzer身份和Wiener-Hopf因子分解，这两个概念在处理波动性和障碍问题时非常关键。Spitzer身份允许计算随机路径的最大值或最小值的分布，这对于障碍期权的定价至关重要。Wiener-Hopf因子分解则是一种处理带有障碍的随机过程的技术，它可以将复杂的问题简化为两个独立的部分。 Z-变换和快速傅立叶变换（FFT）是数值计算中的重要工具，它们用于处理离散序列，并在希尔伯特变换中起着核心作用。通过FFT，可以高效地执行离散希尔伯特变换，极大地减少了计算时间。 这篇研究论文深入研究了如何利用希尔伯特变换、谱滤波技术和快速傅立叶变换来优化数值方法，解决障碍期权定价问题。通过实证分析，作者证明了这种方法对于改善基于Lévy过程的期权定价模型的收敛性和精确性具有显著效果，尤其在处理高频和复杂金融衍生品时。