线性规划问题解析：单纯形法与基可行解转换

"本资料主要讲解运筹学中的单纯形法，特别是如何由一个基可行解转换到另一个基可行解的过程。通过实例展示了线性规划问题的解的概念，包括基变量和非基变量的选择，以及求解初始基的人工变量法。" 在运筹学中，单纯形法是一种用于求解线性规划问题的有效算法。线性规划问题的目标是最大化或最小化某个线性函数（目标函数），同时满足一系列线性等式和不等式的约束。在第五章的单纯形法中，主要涉及以下几个关键知识点： 1. **线性规划问题的解**：线性规划问题的解分为基本解和非基本解。基本解是满足所有约束条件的解，其中基变量（取非零值的变量）的数量等于约束方程的个数。非基本解则是至少有一个基变量为零的解。 2. **基阵和基变量**：基阵是由线性规划问题的系数矩阵中选取的一个子矩阵，这个子矩阵必须是可逆的。基变量是对应于基阵列的变量，它们在基本解中是非零的。 3. **非基变量**：非基变量是不在当前基中的变量，在基本解中它们的值为零。 4. **由一个基可行解到另一个基可行解的转换**：当一个基可行解不能使目标函数进一步优化时，需要通过“换基”来找到新的基可行解。例如，如果发现某非基变量的系数大于0，可以将该非基变量变为基变量，选择一个对应的基变量变为非基变量。在这个过程中，要确保新的基可行解仍然满足所有约束条件。 5. **换基过程**：在示例中，由于50>40，选择X2进入基，X5退出基。计算新基变量X2的值，X2 = min(30/2, 60/2, 24/2) = 12，并更新其他基变量X3, X4和X5的表达式，确保所有变量仍满足约束。 6. **人工变量法**：在求初始基时，有时会引入人工变量来构造初始可行解。这些人工变量在最终解中不应有贡献，但它们可以帮助构建一个可行的初始基。 7. **单纯形迭代**：通过不断换基和更新解，直到找到最优解或者证明无解或多重最优解为止。这个过程就是单纯形法的核心迭代步骤。 单纯形法是解决线性规划问题的一种强大工具，它依赖于基变量和非基变量的合理选择与转换，通过迭代寻找最优解。理解并熟练掌握这一方法对于解决实际生活和工业中的优化问题具有重要意义。