非线性抛物方程自由边界问题的相似解研究

"该资源是一篇2004年的学术论文，主要研究了一类具有奇性的两点边值问题，以及由此构建的非线性抛物方程自由边界问题的相似解。作者通过‘打靶法’探讨了解的性质。文章涉及的领域包括自然科学，特别是数学中的非线性理论和自由边界问题。" 本文详细讨论了非线性方程自由边界问题，特别是针对一类具有奇性的两点边值问题进行了深入研究。非线性方程在物理学、工程学和经济学等多个领域中都有广泛应用，其自由边界问题则涉及到解的边界形状和动态演变，是数学分析中的一个重要课题。 首先，作者们分析了带有奇性的两点边值问题，这类问题通常涉及到边界条件的不连续或者特殊结构，解决此类问题需要特殊的数学技巧和理论。在满足特定条件的情况下，他们成功地找到了这类问题的解，这为后续的自由边界问题分析奠定了基础。 接着，利用所得到的两点边值问题的解，作者们构造了一个非线性抛物方程的自由边界问题的相似解。相似解是一种简化复杂问题的方法，它使得问题可以通过简单的变换转化为更易处理的形式。这种相似解的构造对于理解和模拟实际物理现象，如扩散、热传导等，有着重要的理论价值。 在探讨解的属性时，作者们采用了“打靶法”（shooting method），这是一种求解初值边值问题的数值方法。通过调整初始条件，使得解在边界上满足给定条件，从而找到正确的解。这种方法在自由边界问题中尤其有效，因为它允许逐步逼近自由边界的位置和形状。 此外，文章还涉及了非线性项Nk(u)│ux│^N-1ux，这是一个典型的一维扩散方程的非线性扩散系数，其非线性程度与解的梯度成正比，导致了复杂的动力学行为。在自由边界问题中，非线性项的存在使得解的形态和边界的行为变得更加复杂，需要仔细研究。 最后，文章给出了问题的初始条件和边界条件，例如u在x=φ(t)处的边界条件以及在t=0时的初始条件，这些条件对于确定解的特性和自由边界的行为至关重要。 这篇论文为非线性方程自由边界问题的理论研究和数值模拟提供了新的见解和方法，对于进一步理解非线性扩散过程及其在现实世界中的应用具有重要意义。