层次分析法：判断矩阵与一致性检验

"层次单排序和一致性检验是层次分析法(AHP)中的关键步骤，用于构建判断矩阵并评估其一致性。" 在层次分析法(AHP)中，层次单排序和一致性检验是确定各因素相对重要性的核心过程。这种方法主要用于解决多准则决策分析问题，通过结构化的方式比较不同层次的因素，从而给出权重分配。首先，我们要构造判断矩阵，这是一个用来表示同一层次各因素对上一层某一因素相对重要性的比较矩阵。 构造判断矩阵时，遵循以下原则： 1. 不将所有因素一次性比较，而是采取两两比较的方式，以降低比较难度。 2. 使用相对尺度，如Santy的1-9标度，使得性质不同的因素间可以进行比较。 3. 心理学建议，成对比较的因素不应超过9个，以保持判断的准确性。 判断矩阵的元素aij表示第i个因素相对于第j个因素的重要性。例如，在选择旅游地的场景中，可能会有景色、费用、居住、饮食和旅途等多个准则，它们之间可以通过比较形成判断矩阵。 判断矩阵的质量通常通过一致性来衡量。如果bij=bik/bjk对矩阵中的所有元素都成立，那么这个矩阵具有完全一致性。然而，实际操作中很难达到完全一致性，所以需要进行一致性检验。 一致性检验主要通过计算一致性比率(CR)来完成，首先计算出最大特征值λmax，然后用λmax除以n(n为矩阵的阶数)得到随机一致性指数(RI)，最后计算CR=（λmax - n）/ (n-1)。若CR小于某个阈值（通常为0.1），则认为判断矩阵具有满意的一致性。 计算权重系数有多种方法，如和积法和方根法： 1. 和积法：首先对判断矩阵的每一列进行归一化，然后将归一化后的矩阵按行相加，再对加总后的向量进行归一化，得到的权重系数。 2. 方根法：取判断矩阵各元素的平方根，然后对每列求和，再取这些和的平方根，最终得到的向量即为权重系数。 通过这些步骤，我们可以量化各因素的重要性，并以此为基础做出决策。层次单排序和一致性检验确保了在多因素决策过程中，权重的确定是合理且可接受的。