球面l1正则化逼近模型：理论与应用

本文主要探讨了球面l1-正则化逼近模型的研究，这是一种在二维单位球面S2上应用的数学模型，用于解决各种实际问题中的逼近问题。球面逼近在众多领域有着广泛的应用，包括大气气流测量、晶体结构分析、静电学模拟、声波仿真、热辐射传感、图像恢复和医疗图像重建等。 模型的核心目标是通过最小化误差平方和加上l1正则项，来寻找在给定的点集XN，其中可能包含噪声，上最佳拟合的多项式。具体来说，模型形式为： $$\min_{p \in PL} \left( \sum_{j=1}^{N} (p(x_j) - f(x_j))^2 + \lambda \sum_{j=1}^{N} |RLp(x_j)| \right) \tag{1}$$ 在这个公式中，f是已知的连续函数，PL是所有次数不超过L的球面上的多项式构成的线性空间，RL是线性正则化算子，λ是正则化参数，它控制着模型对噪声的鲁棒性和复杂度之间的权衡。 作者选择的是特定次数t的球面t-设计作为采样点，这种设计确保了节点集合能够准确地捕捉低次多项式的特性。定义1强调了球面t-设计的关键性质，即它使得所有次数小于或等于t的多项式的球面积分与其在节点上的算术平均值相匹配。 文章的主要贡献在于提出并研究了这种球面l1-正则化模型，以及如何通过合理选择节点和正则化算子来解决实际问题中的逼近问题。通过数值例子，研究者展示了该模型在处理精确数据和噪声污染情况下的优越性能。这种方法在保持模型简洁性的同时，能够有效地抑制噪声影响，提高逼近的精度和稳定性。 这篇论文不仅提供了理论框架，还为实际问题的数值求解提供了一种有效工具，为计算机工程与应用领域的球面逼近研究增添了新的视角和方法。