MATLAB中表格函数积分：trapz与辛普森法则详解

在MATLAB的数值积分与微分教程中，第8章主要讲解了如何处理由表格定义的被积函数的积分问题。本节重点介绍了两种数值积分方法：trapz函数和quad/quad8函数。 1. 被积函数由表格定义 在MATLAB中，当我们面对的函数关系不是连续的数学表达式，而是通过表格形式的数据（X,Y）给出时，可以利用trapz函数来进行积分。例如，例8-4展示了如何使用trapz(X,Y)来计算定积分，其中X表示自变量的等间距序列，Y则是对应的函数值。该函数通过将区间划分为多个子区间并采用梯形法则求和，实现了对非连续函数的近似积分。 2. 数值积分方法 8.1.1 数值积分基本原理 数值积分的主要目标是将一个复杂的函数在给定区间上的积分近似计算为一系列小矩形面积之和。这些方法包括梯形法则（每个子区间使用基础面积）、辛普森法则（使用抛物线近似）和牛顿-柯特斯法（一种高阶规则，包括辛普森法则在内的多个子区间的组合）。 3. quad函数与quad8函数 - quad函数：基于变步长辛普森法则，适用于一般的积分需求。它接受被积函数的名称作为输入，以及积分的上下限和精度控制参数。在例8-1中，用户首先创建了一个名为fesin.m的函数文件，然后使用quad函数计算从0到3π的积分，返回的积分值和函数调用次数分别为0.9008和77次。 - quad8函数：针对更精确的积分需求设计，它基于牛顿-柯特斯法，通常提供更少的函数调用次数以达到相同精度。在例8-2中，使用fx.m函数计算从0到π的积分，结果为2.4674。quad8函数的默认精度设置比quad更高，因此能以更高效的方式求解。 4. 实际应用比较 例8-3展示了在保持相同积分精度的情况下，使用quad和quad8函数求积分的差异。通过formatlong格式显示，可以看到quad函数可能需要更多的函数调用来达到相同精度，这表明quad8函数在性能上可能更有优势。 总结来说，这一章节详细介绍了如何在MATLAB中处理由表格数据定义的函数积分问题，包括基本原理、不同数值积分方法（如trapz、quad和quad8）的使用示例以及它们之间的性能对比。通过实际操作，学习者可以掌握如何根据需求选择最合适的数值积分工具。