Matlab非线性方程组求解方法汇总：不动点迭代到牛顿法

在MATLAB中，求解非线性方程组是一个常见的任务，尤其对于数值计算和工程应用来说，准确找到方程组的根至关重要。本文档提供了几种不同的方法来解决这个问题，包括不动点迭代法、牛顿法、离散牛顿法、牛顿-雅可比迭代法、牛顿-SOR迭代法、牛顿下山法以及两点割线法。以下是对这些方法的详细介绍： 1. **不动点迭代法（mulStablePoint）**: 这种方法基于不动点定理，即函数f(x)的零点也是函数值g(x) = f(x) - x的不动点。函数`mulStablePoint`接受一个初始猜测解`x0`和一个精度阈值`eps`，通过不断迭代公式`r = F(x0)`并更新解直到达到精度要求。迭代过程中，使用欧几里得范数`norm(r-x0)`评估当前解与上一步解之间的差异，若迭代步数过多（超过100,000次），则提示可能未收敛。 2. **牛顿法（mulNewton）**: 牛顿法是一种更高效的方法，它利用函数及其导数的信息。该方法首先计算在当前点的函数值`Fx`和雅可比矩阵`dF`，然后通过迭代公式`r = x0 - inv(dFx)*Fx`逼近方程组的根。每次迭代都更新解并检查误差，同样设置了步数上限防止无限循环。 3. **离散牛顿法（mulDiscNewton）**: 离散牛顿法对连续的牛顿法进行了微分近似，适用于函数在有限差分网格上的求解。首先计算每个变量的梯度，然后使用有限差分估计雅可比矩阵`J`，通过迭代更新解`r`。此方法在处理离散数据时更具效率。 除了上述方法，文中还可能提到了**牛顿-雅可比迭代法**，这是一种结合了牛顿法和雅可比迭代的混合方法；**牛顿-SOR迭代法**，是牛顿法的一种改进，采用SOR（Successive Over-Relaxation）技巧加速收敛；以及**牛顿下山法**，一种利用函数梯度下降的优化算法。 所有这些方法都在寻求找到非线性方程组的根，但各有优缺点，例如牛顿法速度快但可能需要计算导数，而不动点迭代法简单但收敛速度相对较慢。根据具体问题的特点和精度要求，选择合适的方法能提高求解效率。在实际应用中，可能还需要根据计算资源和问题特性进行调整和优化。