Cannon乘法：并行计算中的矩阵运算

"Cannon乘法-并行计算（中科大讲义）" Cannon乘法是一种在并行计算环境中高效地执行大型矩阵乘法的方法，它由James Cannon于1969年提出。该方法利用了二维网格结构的并行计算机系统，其中矩阵被分块并分配给各个处理器。在描述Cannon乘法之前，我们首先需要理解并行计算的基础概念。 并行计算是同时使用多个计算资源来解决计算问题的技术，它可以显著提高计算速度和处理大量数据的能力。在并行计算中，计算任务可以被分解成多个子任务，这些子任务可以独立运行并在适当的时候进行结果合并。这使得并行计算成为解决大规模科学、工程问题的关键技术。 Cannon乘法的具体步骤如下： 1. 分块：给定两个n×n的矩阵A和B，它们被划分为p×p的子矩阵，每个子矩阵的大小为n/p×n/p。这样，矩阵A、B就分别被分成了p²个子矩阵Ai,j和Bi,j。 2. 处理器布局：假设有一个p×p的处理器网格，每个处理器Pi,j负责存储和处理子矩阵Ai,j和Bi,j。处理器网格的行和列可以视为两个独立的通信通道，用于子矩阵间的通信。 3. 计算过程：初始时，矩阵A的子块沿着网格的行方向排列，矩阵B的子块沿着列方向排列。然后，通过一系列的位移操作，使相邻子块相乘。在每次位移后，每个处理器上的两个子矩阵进行局部乘法，结果暂存于处理器上。 4. 迭代和通信：这个过程会进行p次，每次位移一个单位，使得所有的子块对都完成一次乘法。在每次位移过程中，处理器之间的通信是必要的，以确保正确的位置交换数据。 5. 结果组合：经过p轮迭代后，所有子矩阵的乘积已经分布在处理器网格上，通过适当的通信和组合，可以得到最终的n×n乘积矩阵C。 并行计算不仅仅局限于Cannon乘法，还包括许多其他领域，如并行计算机系统结构、并行算法设计、并行数值算法以及并行程序设计等。例如，并行计算机系统结构包括SMP（对称多处理器）、MPP（大规模并行处理）和Cluster（集群）等；并行算法设计涉及基础、一般设计方法、基本设计技术和一般设计过程；并行数值算法涵盖基本通信操作、稠密矩阵运算、线性方程组求解和快速傅里叶变换；并行程序设计则讨论基础、设计模型、编程模型和编程环境。 在理解和应用Cannon乘法时，必须考虑到并行计算性能评测、通信开销、负载均衡以及并行效率等问题，以确保并行计算的优势得以充分发挥。同时，了解并掌握不同类型的并行计算系统和编程模型，对于高效地实现并行算法至关重要。