线性动态规划解决带权有向多段图最短路径与关键子工程问题

带权有向的多段图问题是一个经典的算法实践题目，主要涉及线性动态规划的应用。这个问题的目标是在给定的有向图中找到从起点A到终点D的最短路径。在这个问题中，我们需要定义一个状态转移函数F(i)，表示从起点A到顶点i的最短路径长度。状态转移遵循以下规则： 1. 状态定义：F(A)初始化为0，因为从A到A的路径权重为0。对于其他节点，F(i)是到达节点i的最短路径，可以通过遍历相邻节点并选择最小权重路径来计算。 2. 动态规划计算：例如，从节点B1和B2出发，分别计算到达C1、C2和C3的最短路径，然后取这些路径中的最小值作为F(C1)、F(C2)和F(C3)的值。 3. 决策过程：这个问题可以视为多阶段最优化决策问题，每个阶段（节点）的决策基于上一阶段的结果，形成一个决策序列，最终导向目标节点D。 4. 状态转移方程：fk+1(i)是第k+1阶段状态i的最优权值，通过取前一阶段fk(j)加上边(i,j)的权重u(i,j)的最小值来计算。 5. 动态规划原理：最优性原理强调整个策略的全局最优，无后效性原则表明后续阶段的决策不受前期历史影响，只依赖当前状态。这些原则是动态规划解决问题的核心。 6. 应用实例：例如关键子工程问题，通过有向图的拓扑排序判断是否存在解决方案。设F[I]表示完成子工程I的最早时间，动态规划方程F[I] = MAX{F[J]} + A[I, J]用于求解工程完成时间。关键子工程可以通过F序列和拓扑序列找出，满足F[I] = F[J] - A[I, J]的子工程构成关键路径。 7. 时间复杂度：由于涉及到搜索和比较操作，解决这类问题的时间复杂度通常与图的规模有关，对于N≤200的子工程数量，理论上可以保持相对较高的效率。 带权有向的多段图问题通过线性动态规划的方法解决，需要明确节点间的依赖关系，运用状态转移方程，并遵循动态规划的最优性和无后效性原则。解决此类问题有助于理解如何在复杂的决策环境中找到最优解，同时也有助于提高实际工程中的规划能力。