数值分析：病态问题实验1 - 解的敏感性探究

在数值分析的上机作业1中，实验主要聚焦于病态问题的研究，即问题的解对数据变化的敏感性。病态问题通常出现在线性代数、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等数值分析的核心领域。这类问题的特点是，即使是很小的输入变化，可能导致解的大幅度改变，这使得求解变得复杂且不稳定。 实验的目的在于让学生通过实际操作，理解算法对不同问题的适应性和问题本身的性质。具体来说，实验涉及一个高次代数多项式，其所有根为简单单重根1到20，但当对其系数进行微小扰动时，可能会引发解的显著变化。实验者需要使用Matlab中的函数"roots"和"poly"来进行计算，这些函数可以用来求解多项式的根以及构建多项式。 实验内容包括： 1. 初始情况下，通过设置一个非常小的扰动项ess，反复运行程序，观察根的改变并记录结果。这有助于分析解的敏感度，可能会发现某些特定解对扰动异常敏感。 2. 探索性地改变扰动项的形式，例如将其改为其他函数或变量，以观察可能的不同现象。这将展示问题的多样性以及针对不同扰动策略的响应。 实验要求学生： - 选择极小的ess值，多次执行实验，并注意观察结果的变化趋势。 - 分析实验结果，解释为什么即使扰动非常小，解的差异也可能显著。 - 尝试不同的扰动形式，探究解的稳定性边界，以及这如何反映病态问题的本质。 整个实验过程强调了数值计算中的实践和理论结合，帮助学生理解问题的复杂性以及算法设计在处理病态问题时的挑战。通过这个实验，学生不仅会掌握基本的Matlab工具，还会对数值分析中问题分类和算法优化有更深入的认识。