线性系统理论课程考试：观测性与极点配置

"中南大学线性系统理论期末考试试卷，包含填空题、状态方程建立、能控性与能观性判断及线性时不变系统的第一能控规范形转换等题目。" 《线性系统理论》课程考试涉及了多个关键知识点，主要涵盖线性系统的性质、状态空间表示以及控制系统的设计原则。以下是这些知识点的详细解释： 1. **线性系统的可观测性判断**： 观测性是衡量一个线性系统能否通过其输出信号完全确定其内部状态的程度。对于线性常系数系统，可观测性的判据是基于观测器矩阵的秩。如果观测器矩阵的秩等于系统的状态变量数目，那么系统是可观测的。具体来说，对于一个有n个状态的系统，其状态转移矩阵的任意n个列向量线性独立，就表明系统是完全可观测的。 2. **连续LTI系统的极点配置**： 极点配置是控制理论中的一个重要概念，它允许设计者自由选择系统的动态响应特性。对于连续LTI系统，能够实现任意极点配置的充分必要条件是系统必须是能控的。这意味着，系统的可控矩阵的秩等于状态变量的数量，这样可以通过状态反馈来改变闭环系统的特征多项式的根，从而实现极点的任意配置。 3. **状态方程的建立**： 在给定的电路问题中，要求根据输入电源电压u(t)和状态变量（电感电流和电容电压）建立状态方程。这涉及到拉普拉斯变换、基尔霍夫定律和法拉第电磁感应定律的应用。首先，将电路元素（如电阻、电感、电容）用微分方程表示，然后将这些方程组合成一组状态方程，通常形式为线性常微分方程组。 4. **系统的能控性和能观性判断**： - 能控性：判断一个系统是否能控，需要用到可控矩阵的秩。如果可控矩阵的秩等于系统的状态变量数，那么系统是能控的。给定的两个系统矩阵分别表示了两个LTI系统，可以通过计算它们的可控矩阵并检查秩来判断能控性。 - 能观性：与能控性类似，但使用的是观测矩阵的秩。如果观测矩阵的秩等于状态变量数，系统是能观的。 5. **第一能控规范形**： 龙伯格变换是将线性时不变系统转化为特定形式的工具，第一能控规范形要求系统的能控性子空间成为整个状态空间。在给定的题目中，需要通过一系列变换将系统矩阵转化为第一能控规范形，这通常涉及到找到能控多项式，构造适当的变换矩阵，然后进行相似变换。 这些题目旨在测试学生对线性系统理论的理解，包括系统的数学建模、动态特性分析和控制设计的基本原理。理解和掌握这些知识点是深入学习现代控制理论的基础。