图的迭代构造的归一化拉普拉斯谱及其应用

本文主要探讨的是"与图相关的两个迭代构造的规范化拉普拉斯算子及其应用"这一主题，具体关注于在连通图G的基础上构造的两个迭代构造Fk(G)和Rk(G)，其中k≥2。规范化拉普拉斯算子是图论中的一个重要工具，它在网络分析、信号处理和机器学习等领域都有广泛应用，因为它能捕捉图的局部和全局特性。 作者们通过深入研究，成功地得到了Fk(G)和Rk(G)这两种迭代构造的规范化拉普拉斯谱的完整表达形式。他们的工作是对已有的理论成果的拓展，尤其是Pan等人在2018年提出的相关工作的进一步发展。规范化拉普拉斯谱的计算不仅提供了关于图结构的深入理解，还对于理解图的复杂性具有重要意义。 文中的一项关键应用是通过这些构造，推导出乘法度-基尔霍夫指数的封闭式公式。乘法度-基尔霍夫指数是衡量图中顶点间路径数量的一种量，其闭式表达有助于在优化问题中找到高效的解决方案。此外，作者还探讨了Kemney常数，这是一种衡量图中随机游走速度的重要参数，其计算结果同样为图的性质提供了新的洞察。 另一个重要的应用是确定r-迭代图Fk(G)、Rk(G)以及它们的变体Frk(G)和rk-生成树的数量，这些结果对于理解图的连通性和分形性质有着实际价值。r-迭代图是一种通过重复应用某种规则生成的新图，而生成树则对应于图中一条无环且包含所有顶点的路径，这对于寻找网络中的关键路径和最小生成子集非常有用。 这篇论文的核心贡献在于通过迭代构造深化了对图的规范化拉普拉斯谱的理解，并将其应用于度量和计数特定类型的图结构，这不仅拓展了现有的数学理论，也为实际问题提供了强大的工具和理论支持。