动态规划的艺术：背包问题九讲2.0

"背包问题九讲2.0alpha1，由崔添翼(TianyiCui, a.k.a.dd_engi)编写，是《动态规划的思考艺术》系列的一部分，对原始HTML版本进行了全面修订，现以LATEX格式发布。本文详细讲解了各种类型的背包问题，包括01背包、完全背包、多重背包、混合背包、二维费用的背包问题、分组的背包问题、有依赖的背包问题以及泛化物品等，并探讨了背包问题的不同问法。" 1. 01背包问题：这是最基本的背包问题，每种物品只有单件，可以选择放或不放。基本思路是使用动态规划，通过状态转移方程来求解，优化空间复杂度可以通过记忆化搜索来实现。 2. 完全背包问题：物品可以无限件，考虑每种物品的最大可取数量。一个简单的优化是将物品按价值密度排序，先处理价值密度高的物品。可以转化为01背包问题求解，或者使用O(VN)的算法。 3. 多重背包问题：每种物品有限定的数量，可以取多次。可以转化为01背包问题，或者直接设计O(VN)的算法。 4. 混合三种背包问题：结合01背包、完全背包和多重背包的特点，需要灵活处理不同类型的物品。 5. 二维费用的背包问题：物品除了重量还有费用，需要同时考虑两种限制。可以扩展动态规划的状态来解决，有时还需要考虑物品总个数的限制。 6. 分组的背包问题：物品被分为若干组，每组内的物品只能全部放入或全部不放入背包。算法设计需考虑组间的关联性。 7. 有依赖的背包问题：物品之间可能存在依赖关系，需要在满足条件的情况下求最大价值。简化问题可以通过先预处理，较一般的问题可能需要更复杂的数据结构和算法。 8. 泛化物品：物品可能有多个属性，如颜色、大小等，泛化物品的概念允许物品具有多个维度的特征，动态规划需要扩展到多维状态。 9. 背包问题问法的变化：除了求最大价值，还可以输出最优方案、按字典序最小的最优方案、方案总数、最优方案的总数，甚至求次优解或第K优解。这些问题的解决方法通常需要在原有动态规划的基础上进行调整。 本文深入浅出地介绍了背包问题的各种变体和解决方案，对于理解和掌握动态规划有极大的帮助，尤其适合对算法和优化有兴趣的读者。