数据结构之图：最短路径与无向图解析

"引例-图及其应用" 在计算机科学中，图是一种重要的数据结构，用于表示对象之间的关系或连接。图由顶点（或节点）和边（或连接）组成，广泛应用于网络分析、路由规划、社交网络、机器学习等领域。本话题主要围绕图的基本概念、存储结构、遍历方法以及几种关键算法展开。 首先，图的定义是：G=（V，E），其中V是顶点集，E是边集。图可以是有向的，也可以是无向的。无向图中的边没有方向，而有向图的边有明确的起点和终点。例如，图中给出的无向图V={1,2,3,4,5}，E={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,5),(3,5),(4,5)}，而有向图V={1,2,3,4,5}，E={<1,2>,<1,4>,<2,3>,<2,5>,<3,1>,<5,3>,<5,4>}。 每个顶点在图中具有度数，表示与其相连的边的数量。在无向图中，度数是所有相邻边的总数。例如，顶点2在无向图中的度数D(2)=3。在有向图中，我们区分入度（ID）和出度（OD），分别表示以顶点为终点和起点的边数。如顶点3的入度ID(3)=2，出度OD(3)=1，度数D(3)=ID(3)+OD(3)=3。 图的遍历是寻找图中所有顶点或特定顶点的一种方法，常见的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。这两种方法在解决最短路径和最小生成树等问题时十分有用。 在图中寻找最短路径是一个核心问题，特别是在路径规划和网络通信中。例如，从城市A到城市E的最短路径问题，可以通过Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法或者Bellman-Ford算法来解决。这些算法的目标是找到从源点到其他所有顶点的最短路径。 最小生成树是图的一个子集，包含了图中所有顶点，并且边的权重之和最小。Kruskal算法和Prim算法是解决最小生成树问题的常用方法。 拓扑排序是对有向无环图（DAG）的顶点进行排序，使得对于每条有向边(u, v)，u总是在v之前。拓扑排序可以用于任务调度和依赖性分析。 图的这些基本概念和算法在实际应用中至关重要，它们为解决复杂问题提供了理论基础和计算工具。例如，在城市交通规划中，通过构建城市间的道路网作为图，可以运用最短路径算法找出最佳行驶路线；在网络设计中，利用最小生成树算法可以找到连接所有节点的最低成本网络结构。