"微分方程建模是用于描述现实世界中动态系统行为的一种数学工具。在本案例中，我们关注的是一个传染病传播的模型，它将人群分为易感染者(susceptible, S)，已感染者(infective, I)和已恢复者(recovered, R)三类。微分方程模型常用于此类问题，因为它能够捕捉到系统的演变过程。
模型3是一个三房室模型，用以下微分方程表示：
\[
\begin{align*}
\frac{ds}{dt} &= -k \cdot s(t) \cdot i(t) \\
\frac{di}{dt} &= k \cdot s(t) \cdot i(t) - l \cdot i(t) \\
\frac{dr}{dt} &= l \cdot i(t)
\end{align*}
\]
其中，\(k\) 是感染率，\(l\) 是传染病恢复系数。这些方程描述了每一类人数随时间的变化。
对这三个方程进行求解，可以得到：
\[
\begin{align*}
s(t) &= s(0) \cdot e^{-kti(0)t} \\
i(t) &= \frac{i(0)}{1 - l/k} \cdot (1 - e^{-kti(0)t}) \\
r(t) &= r(0) + \frac{l}{k} \cdot (1 - e^{-kti(0)t})
\end{align*}
\]
定义 \(N = s(0) + i(0) + r(0)\) 为初始总人数，且 \(\beta = k/N\) 为有效接触率，\(\gamma = l/N\) 为康复率，模型可以进一步简化为：
\[
\begin{align*}
\frac{ds}{dt} &= -\beta \cdot s(t) \cdot i(t) \\
\frac{di}{dt} &= \beta \cdot s(t) \cdot i(t) - \gamma \cdot i(t) \\
\frac{dr}{dt} &= \gamma \cdot i(t)
\end{align*}
\]
微分方程建模的实例：
1. 理想单摆运动：理想单摆的微分方程是 \(\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin(\theta) = 0\)。当角度 \(\theta\) 很小时，\(\sin(\theta) \approx \theta\)，我们可以近似为线性方程 \(\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \theta = 0\)，进而得出周期公式 \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\)。
2. 追赶问题：在追赶潜水艇的例子中，巡逻艇需要找到最佳路径来追上敌方潜水艇。这里，巡逻艇路径的极坐标方程为 \(r = r(\theta)\)，通过微分方程 \(\frac{d^2r}{d\theta^2} + \frac{2}{r}\frac{dr}{d\theta} = 0\) 来确定。解这个方程可以得到巡逻艇的最优路径。
微分方程模型在解决这些问题时，不仅揭示了系统的行为，还提供了对现实世界现象的定量理解。无论是物理运动还是生物动力学，微分方程都是描述动态变化的关键工具。通过求解这些方程，我们可以预测系统的未来状态，优化策略，甚至设计控制措施，如在传染病模型中控制疾病的传播速度。
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