清华大学计算机系小波分析教程

“小波分析及其工程应用，清华大学计算机系的小波讲义，孙延奎，2009.3.3，包括Haar小波分析，多分辨表示，尺度函数与小波函数等内容。” 小波分析是一种数学工具，它在信号处理和图像分析等领域具有广泛的应用。该技术的核心是将复杂信号分解成一系列在时间和频率上都局部化的函数，这些函数称为小波。这使得我们能够同时分析信号的局部特征和时间变化，从而在数据分析和模式识别中提供更丰富的信息。 在第1章中，Haar小波被作为基础概念介绍。Haar小波是最简单的小波函数类型，常用于教学和理解基本的小波变换概念。Haar小波分析通过求平均和细节运算，引入了离散信号的多分辨表示。这种表示方式允许信号在不同分辨率下进行分析，对于数据压缩和特征提取非常有用。低频系数通常代表信号的主要趋势或平均值，而高频系数则捕获信号的突变或细节。 多分辨表示是小波分析的基础，它是由一组基函数（如尺度函数和小波函数）构成的。尺度函数 φ(t) 是一种平滑函数，它在低频部分提供信号的全局信息，而小波函数 ψ(t) 则用于捕捉高频细节。尺度函数与小波函数之间存在特定的关系，它们共同构建了信号的多尺度分解。小波方程和尺度方程描述了这些函数如何随尺度变化，从而定义了小波变换。 在本讲义中，作者孙延奎通过具体的例子展示了如何使用Haar小波对信号进行分解，解释了尺度函数与小波函数如何在不同的区间上表示信号的不同部分。例如，通过比较不同区间的尺度函数和小波函数，可以理解它们如何捕捉信号的不同特性。同时，他也强调了小波变换的结果会受到具体操作的影响，以及信号长度对分析结果的重要性。 小波分析在工程应用中的价值在于其灵活性和适应性。它可以应用于噪声去除、信号压缩、图像处理、故障诊断等多个领域。在信号处理中，小波变换可以有效地分离信号的周期性和非周期性成分；在图像处理中，它可以用于边缘检测和图像压缩；而在故障诊断中，小波分析可以帮助识别设备的异常振动模式。 清华大学计算机系的小波讲义提供了深入理解小波分析及其工程应用的基础，包括Haar小波、多分辨表示、尺度函数和小波函数等关键概念。这些内容对于学习者掌握小波理论和技术，以及进一步研究和应用小波分析在实际问题中的解决策略至关重要。