马尔可夫链：定义、性质与应用示例

该资源主要介绍了马尔科夫链的概念及其相关性质，包括马尔可夫链的分类、定义、一步转移概率、平稳分布等，并通过举例来阐述马尔可夫链的应用。 马尔科夫链是一种随机过程，其特征在于当前状态的概率分布仅依赖于前一个状态，而不受之前状态的影响，这种特性被称为无后效性或马尔科夫性质。在数学表达上，如果随机过程{Xn, n≥0}满足对于任意的t和状态集合S中的i, j，都有： lim (P(X_t = j | X_0 = i, ..., X_{t-1} = k)) = P(X_t = j | X_{t-1} = i) 当t趋于无穷大时，这个条件表明了马尔科夫链的未来状态只与当前状态有关。当转移概率矩阵P不随时间变化，即pij与n无关时，我们称该马尔科夫链为齐次马尔科夫链，其一步转移概率矩阵P是常数。 平稳分布是马尔科夫链的一个重要概念，它是马尔科夫链长期行为的描述。若存在概率分布π，使得对于所有状态i和j，都有πj = ∑πi * pij，那么π就是马尔科夫链的平稳分布。根据描述中的极限推导，可以得出平稳分布满足平衡方程，且它是唯一的。若存在另一个平稳分布π'，则对于所有的i和j，有π'i = π'j * pij，这表明π'和π的比例在所有状态上都相等，从而证明了平稳分布的唯一性。 马尔科夫链的应用广泛，例如在例子1中，独立同分布的随机变量和的序列形成马尔科夫链，其中每个Xn的值取决于前n个随机变量Y1到Yn的和。而在例子2中，M/G/1排队系统的顾客到达和服务过程可以用马尔科夫链来建模，顾客到达遵循泊松过程，服务时间服从特定分布，形成一个状态转移模型，用于分析系统的性能指标如平均等待时间等。 总结起来，马尔科夫链是描述状态之间转移概率的随机过程，具有无后效性，其平稳分布反映了过程的长期稳定状态。在理论研究和实际应用中，马尔科夫链是一个强有力的工具，被广泛应用于统计物理、生物学、经济、工程等多个领域。