C++三角分解法实现：解方程组直接法实验与验证

在本次数值分析实验报告中，主要探讨了解方程组的直接法中的三角分解法，并提供了C++源代码实现。实验名称为"解方程组的直接法(2)"，目标是通过三角分解技术求解一组线性方程组。具体来说，实验涉及到以下几个关键点： 1. 实验目的： 三角分解法在此实验中扮演核心角色，它是一种直接求解线性方程组的有效算法，特别适用于大规模的方程组。三角分解通常分为L型分解（Lower Triangular Matrix）和U型分解（Upper Triangular Matrix），通过这种方式可以将系数矩阵A分解成两个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积，即A=LU。 2. 实验题目： 实验者被要求验证一个特定的线性方程组的解，其准确解为x1=3, x2=-1, x3=0, x4=2。这既是给定方程组的已知解，也是用来测试分解算法正确性的标准。 3. 程序与代码片段： 提供的C++代码包括几个函数：`Printf_L_U`用于输出L和U矩阵，`Printf_Equations`用于显示方程组的格式，`Printf_Mapping_Result`则展示了变量映射的结果。核心部分是`Doolittle_Decomposition`函数，这是Doolittle分解方法的实现，用于分解系数矩阵`_a`为`_L`和`_U`两个矩阵。 在`Doolittle_Decomposition`函数中，通过迭代过程，分别计算了L矩阵的元素、U矩阵的元素，以及用于更新U矩阵元素的临时变量。例如，`_U[0][0]`初始化为`_a[0]`，后续的元素计算涉及对矩阵元素的加权求和，确保保持矩阵的性质。 4. 注意事项： 该程序要求有一个名为`i_Mapping`的数组，用于记录变量的映射关系，这在实际应用中对于变量顺序的保持很重要。此外，设置了一个精度阈值TOL0.000002，用于判断矩阵元素是否足够接近零，从而确定解是否收敛。 通过这个实验，学习者可以深入理解如何利用三角分解法求解线性方程组，以及如何在实际编程中实现这一算法，同时熟悉C++语言的编程技巧。