辗转相除法求最大公约数 - 计算机算法实践

"辗转相除法-gb∕t 7714-2015 信息与文献 参考文献著录规则" 本文将详细解释辗转相除法，也称欧几里得算法（Euclidean Algorithm），这是一种用于计算两个正整数最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）的有效算法。该算法基于以下原理：对于任意两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。如果余数c为0，那么b就是最大公约数；若c不为0，则继续用b去除c，如此反复，直到余数为0。 以下是一个简单的C语言实现辗转相除法的代码段： ```c #include<stdio.h> void main() /* 辗转相除法求最大公约数 */ { int m, n, a, b, t, c; printf("Input two integer numbers:\n"); scanf("%d%d", &a, &b); m=a; n=b; while(b!=0) /* 余数不为 0，继续相除，直到余数为 0 */ { c=a%b; a=b; b=c; } } ``` 在这个程序中，用户输入两个整数a和b，然后通过循环结构执行辗转相除法。在每次循环中，计算a除以b的余数c，并更新a和b的值，使得a变为原来的b，b变为原来的余数c。循环会一直进行，直到b为0，此时的a就是两数的最大公约数。 辗转相除法的历史可以追溯到古希腊数学家欧几里得的时代，它是算法史上最早的算法之一，至今仍被广泛应用。其效率高，时间复杂度为O(log min(a, b))，这意味着对于大整数，它比其他方法更快。 在计算机科学领域，辗转相除法不仅用于求最大公约数，还被用来简化比例、解决同余方程等问题。此外，它在编码理论、数论、加密算法如RSA等现代密码学应用中也有重要地位。 除了辗转相除法，还有其他求最大公约数的方法，例如更相减损术（也叫连续减法）、扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm），它们各有特点和适用场景。例如，扩展欧几里得算法不仅可以找到最大公约数，还能求出两个整数的贝祖等式（Bézout's Identity）的解。 辗转相除法是计算两个正整数最大公约数的经典方法，其简洁的逻辑和高效的性能使其在算法集和编程竞赛中经常被采用。了解并掌握这种算法，对于提升编程能力和解决实际问题的能力都有很大帮助。