3.2仿射变换：齐次坐标与矩阵表示

本章节主要讨论的是3.2仿射变换，这是一种在计算机图形学和机器视觉中广泛应用的几何变换，它扩展了线性变换的能力，以便更好地处理平移操作。3.2.1部分介绍了齐次坐标系统，这是在三维空间中统一表示点和向量的关键概念。通过将点表示为(x, y, z, 1)，向量表示为(x, y, z, 0)，齐次坐标使得平移能够被正确地应用到对象上，避免了对向量进行无意义的平移。 齐次坐标的记法有助于理解向量和点的加减运算。对于点的平移，通过将一个点和一个向量相加，结果仍然是一个点；而对于向量的平移，由于w=0的设定，平移部分不会影响向量本身。3.2.2中，仿射变换定义为一个线性变换加上一个平移向量b，可以用矩阵形式表达为： \[ \begin{bmatrix} A & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} \] 其中A是线性变换的矩阵，b是平移向量，这种形式确保了向量的w分量不受平移影响。单位变换I(u) = u是线性变换的基础，它在仿射变换中作为核心，表示为单位矩阵。 3.2.3详细阐述了平移变换作为仿射变换的一种，其特点是线性变换部分为单位矩阵，仅通过添加平移向量b实现平移操作。例如，平移点u到位置b，可以用仿射变换矩阵表示为： \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & b_x \\ 0 & 1 & 0 & b_y \\ 0 & 0 & 1 & b_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \] 仿射变换是计算机图形学中一种基础且实用的变换方式，它扩展了线性变换的范围，允许在保持向量的方向和长度的同时，也处理平移等非线性变换，这对于模型的定位、旋转、缩放等操作至关重要。理解齐次坐标和仿射矩阵的运用是深入学习图形学和计算机视觉的关键。