图论精华：经典例题与算法详解

图论选讲是一份详尽的资料，涵盖了图论中的核心概念和经典问题解决方案。以下是部分内容的详细解析： 1. **最短路径算法**： - Dijkstra算法：用于求解带有权重的无权图或加权有向图中的单源最短路径问题。 - SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）：适用于稠密图，是一种改进的Dijkstra算法，对负权边也能处理。 - Floyd-Warshall算法：解决所有顶点对之间的最短路径问题，适用于有向或无向图。 2. **网络流与费用流**： - Dinic算法：用于求解最大流问题，是Edmonds-Karp算法的一种。 - SAP（Simultaneous Approximation Procedure）：可能指的是多次迭代求解最大流的近似方法。 3. **图匹配**： - 匹配算法：包括匈牙利算法（Hungarian Algorithm）用于解决二分图的最大匹配问题。 - Hopcroft-Karp算法：也用于二分图的最大匹配，但效率更高。 4. **最小生成树**： - Prim算法：从一个顶点开始，逐步添加与当前生成树相连且代价最小的新边，构建最小生成树。 - Kruskal算法：从小到大选择边，确保新加入的边不会形成环。 - LCT（Lowest Common Ancestor）：在树形数据结构中查找最近公共祖先，有时用于最小生成树算法辅助。 5. **图计数问题**： - Matrix-Tree定理：用于计算无向图的生成树数量，是图论中的重要工具。 - 最小割问题：如Stoer-Wagner算法，关注的是将图分割成两部分的最少边数。 6. **特殊图型**： - 斯坦纳树：一种特殊的树形结构，仅包含原图中的一条路径。 - 欧拉路径/回路：图中可以走遍所有边且仅一次经过每条边的路径或回路。 7. **连通性分析**： - 强联通分量：通过深度优先搜索或Tarjan算法确定图中各个互可达的部分。 - 点双联通分量和边双联通分量：区分节点删除和边删除对连通性的影响。 8. **高级主题**： - 图的哈希：迭代哈希方法用于快速查询图中信息，提高查找速度。 - 全局最小割和最小割树：Gomory-HuTree是计算任意两个顶点间最小割的有效方法。 - 最小树形图：朱刘算法用于找到最小的树形图表示。 - 带花树算法：用于一般图匹配问题。 9. **动态图问题**： - 动态图的处理通常涉及实时维护数据结构，如2015年WC2015XYZ大课件中的内容，可能涉及到频繁更新图后的问题求解。 10. **竞赛题目举例**： - 2014年亚洲东京问题：求解最小生成树并替换非树边。 - 2014年四川省级问题：Floyd-Warshall用于求多个查询的最短路径，结合生成树和BFS。 - 2016年四川问题：在生成树基础上处理额外的非树边和查询路径。 总结来说，图论选讲提供了丰富的图论基础知识和实践应用，涵盖从基本算法到复杂问题的解决方案，适合深入学习和解决实际问题。无论是理论研究还是技术竞赛，这份资料都能提供扎实的基础和实例参考。