自动控制原理习题解析：误差控制与系统响应

自动控制原理是胡寿松教授的一本教材中的重要章节，主要探讨了控制系统的设计与分析方法。第三章涵盖了随动系统和线性系统动态响应的基本概念和计算技巧。以下是该章部分习题及解答的详细解析： 1. 题目3-1涉及一个随动系统，其微分方程为 \( T\frac{dx}{dt} + x = K_2 u \)，其中 \( u = K_1(r(t) - xf) \)，\( f + xf = x_0 \)。目标是在外作用 \( r(t) = 1 + t \) 的情况下，使 \( x_0 \) 对 \( r(t) \) 的稳态误差不超过正常数 \( \epsilon_0 \)。要满足这个条件，需要确定 \( K_1 \) 的值。根据稳态误差理论，可以通过比较输入信号和输出信号在稳态时的比例来计算。具体来说，\( \lim_{t \to \infty} (r(t) - x(t)) \leq \epsilon_0 \)，需要找到 \( K_1 \) 使得 \( K_1(r(t) - xf) \) 在长期内足以跟踪 \( r(t) \) 的变化。 2. 题目3-2要求求解两个线性常系数微分方程的单位脉冲响应 \( k(t) \) 和单位阶跃响应 \( h(t) \)。第一个方程是纯比例环节，\( 0.2\frac{dc}{dt} = 2r(t) \)，其解为 \( C(s) = \frac{10}{s} \)，进而得到 \( k(t) = 10 \) 和 \( h(t) = 10t \)。第二个方程是二阶环节，通过特征根求得 \( C(s) = \frac{0.04s^2 + 0.24s + 1}{s} \)，从而得出 \( k(t) \) 和 \( h(t) \) 的具体表达式。 3. 题目3-3给出了三个不同的脉冲响应 \( k(t) \)，要求分别求出对应的闭环传递函数 \( \Phi(s) \)。每个函数形式不同，第一种是指数衰减的，第二和第三种包含更复杂的周期性成分。通过将 \( k(t) \) 与系统微分方程关联，可以推导出 \( \Phi(s) \) 的形式。 4. 题目3-4涉及到二阶系统的性能指标计算，如超调量 \( \sigma\% \)、峰值时间 \( tp \) 和调节时间 \( ts \)。根据给定的单位阶跃响应 \( h(t) = 10 - 12.5e^{-1.2t}\sin(1.6t + 53.1^\circ) \)，通过解析响应特性可以计算这些参数。超调量 \( \sigma\% \) 与系统阻尼比 \( \xi \) 有关，而峰值时间和调节时间则反映了系统响应速度。 总结来说，第三章内容深入浅出地介绍了随动系统和线性系统的基本特性，通过实际问题展示了如何运用微分方程理论和系统分析工具来设计和分析控制系统，包括稳态误差控制、动态响应计算以及性能指标评估。这些知识点对于理解和掌握自动控制原理至关重要，尤其是在实际工程应用中优化系统性能时。